Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25362 / 24297
↖ ↑ ↗
← S 65.261305°
E 98.635254°		 ← 511.23 m → S 65.261305°
E 98.646240°		 →
↑
511.15 m
↓
↑
511.15 m
↓
S 65.265901°
E 98.635254°		 ← 511.14 m →
261 291 m²		 S 65.265901°
E 98.646240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774002075195312 y=0.741500854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774002075195312 × 215)
    floor (0.774002075195312 × 32768)
    floor (25362.5)     		tx = 25362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741500854492188 × 215)
    floor (0.741500854492188 × 32768)
    floor (24297.5)     		ty = 24297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25362 / 24297 ti = "15/25362/24297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25362/24297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25362 ÷ 215
    25362 ÷ 32768     		x = 0.77398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24297 ÷ 215
    24297 ÷ 32768     		y = 0.741485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77398681640625 × 2 - 1) × π
    0.5479736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72150994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.48297119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51729874677402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72150994} λ = 1.72150994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51729874677402))-π/2
    2×atan(0.219303481806432)-π/2
    2×0.21588584493323-π/2
    0.431771689866459-1.57079632675     		φ = -1.13902464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72150994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.635254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13902464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.261305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25362 KachelY 24297 1.72150994 -1.13902464 98.635254 -65.261305
    Oben rechts KachelX + 1 25363 KachelY 24297 1.72170169 -1.13902464 98.646240 -65.261305
    Unten links KachelX 25362 KachelY + 1 24298 1.72150994 -1.13910487 98.635254 -65.265901
    Unten rechts KachelX + 1 25363 KachelY + 1 24298 1.72170169 -1.13910487 98.646240 -65.265901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13902464--1.13910487) × R
    8.02300000000145e-05 × 6371000     		dl = 511.145330000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13902464--1.13910487) × R
    8.02300000000145e-05 × 6371000     		dr = 511.145330000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72150994-1.72170169) × cos(-1.13902464) × R
    0.000191749999999935 × 0.418480549950137 × 6371000     		do = 511.2322651805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72150994-1.72170169) × cos(-1.13910487) × R
    0.000191749999999935 × 0.418407681650722 × 6371000     		du = 511.143246405853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13902464)-sin(-1.13910487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418480549950137-0.418407681650722)×R²
    abs(1.72170169-1.72150994)×7.28682994153851e-05×R²
    0.000191749999999935×7.28682994153851e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.28682994153851e-05×40589641000000     		ar = 261291.234266407m²