Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25361 / 24591
↖ ↑ ↗
← S 66.578851°
E 98.624267°		 ← 485.59 m → S 66.578851°
E 98.635254°		 →
↑
485.53 m
↓
↑
485.53 m
↓
S 66.583217°
E 98.624267°		 ← 485.50 m →
235 747 m²		 S 66.583217°
E 98.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773971557617188 y=0.750473022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773971557617188 × 215)
    floor (0.773971557617188 × 32768)
    floor (25361.5)     		tx = 25361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750473022460938 × 215)
    floor (0.750473022460938 × 32768)
    floor (24591.5)     		ty = 24591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25361 / 24591 ti = "15/25361/24591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25361/24591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25361 ÷ 215
    25361 ÷ 32768     		x = 0.773956298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24591 ÷ 215
    24591 ÷ 32768     		y = 0.750457763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773956298828125 × 2 - 1) × π
    0.54791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72131819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.50091552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5736725407272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72131819} λ = 1.72131819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5736725407272))-π/2
    2×atan(0.207282529246215)-π/2
    2×0.204388084752126-π/2
    0.408776169504253-1.57079632675     		φ = -1.16202016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72131819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.624267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16202016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.578851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25361 KachelY 24591 1.72131819 -1.16202016 98.624267 -66.578851
    Oben rechts KachelX + 1 25362 KachelY 24591 1.72150994 -1.16202016 98.635254 -66.578851
    Unten links KachelX 25361 KachelY + 1 24592 1.72131819 -1.16209637 98.624267 -66.583217
    Unten rechts KachelX + 1 25362 KachelY + 1 24592 1.72150994 -1.16209637 98.635254 -66.583217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16202016--1.16209637) × R
    7.6210000000021e-05 × 6371000     		dl = 485.533910000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16202016--1.16209637) × R
    7.6210000000021e-05 × 6371000     		dr = 485.533910000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72131819-1.72150994) × cos(-1.16202016) × R
    0.000191749999999935 × 0.397486626836498 × 6371000     		do = 485.585264693404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72131819-1.72150994) × cos(-1.16209637) × R
    0.000191749999999935 × 0.39741669477909 × 6371000     		du = 485.499832947242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16202016)-sin(-1.16209637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397486626836498-0.39741669477909)×R²
    abs(1.72150994-1.72131819)×6.99320574074069e-05×R²
    0.000191749999999935×6.99320574074069e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.99320574074069e-05×40589641000000     		ar = 235747.372314656m²