Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25361 / 24275
↖ ↑ ↗
← S 65.159964°
E 98.624267°		 ← 513.19 m → S 65.159964°
E 98.635254°		 →
↑
513.18 m
↓
↑
513.18 m
↓
S 65.164579°
E 98.624267°		 ← 513.10 m →
263 340 m²		 S 65.164579°
E 98.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773971557617188 y=0.740829467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773971557617188 × 215)
    floor (0.773971557617188 × 32768)
    floor (25361.5)     		tx = 25361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740829467773438 × 215)
    floor (0.740829467773438 × 32768)
    floor (24275.5)     		ty = 24275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25361 / 24275 ti = "15/25361/24275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25361/24275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25361 ÷ 215
    25361 ÷ 32768     		x = 0.773956298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24275 ÷ 215
    24275 ÷ 32768     		y = 0.740814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773956298828125 × 2 - 1) × π
    0.54791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72131819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.48162841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51308029960745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72131819} λ = 1.72131819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51308029960745))-π/2
    2×atan(0.220230555989811)-π/2
    2×0.216770206571068-π/2
    0.433540413142136-1.57079632675     		φ = -1.13725591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72131819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.624267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13725591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.159964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25361 KachelY 24275 1.72131819 -1.13725591 98.624267 -65.159964
    Oben rechts KachelX + 1 25362 KachelY 24275 1.72150994 -1.13725591 98.635254 -65.159964
    Unten links KachelX 25361 KachelY + 1 24276 1.72131819 -1.13733646 98.624267 -65.164579
    Unten rechts KachelX + 1 25362 KachelY + 1 24276 1.72150994 -1.13733646 98.635254 -65.164579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13725591--1.13733646) × R
    8.05500000000681e-05 × 6371000     		dl = 513.184050000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13725591--1.13733646) × R
    8.05500000000681e-05 × 6371000     		dr = 513.184050000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72131819-1.72150994) × cos(-1.13725591) × R
    0.000191749999999935 × 0.420086300670952 × 6371000     		do = 513.193913286762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72131819-1.72150994) × cos(-1.13733646) × R
    0.000191749999999935 × 0.420013201459149 × 6371000     		du = 513.104612420479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13725591)-sin(-1.13733646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420086300670952-0.420013201459149)×R²
    abs(1.72150994-1.72131819)×7.3099211803096e-05×R²
    0.000191749999999935×7.3099211803096e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.3099211803096e-05×40589641000000     		ar = 263340.017108837m²