Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25360 / 24463
↖ ↑ ↗
← S 66.013552°
E 98.613281°		 ← 496.62 m → S 66.013552°
E 98.624267°		 →
↑
496.56 m
↓
↑
496.56 m
↓
S 66.018018°
E 98.613281°		 ← 496.53 m →
246 579 m²		 S 66.018018°
E 98.624267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773941040039062 y=0.746566772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773941040039062 × 215)
    floor (0.773941040039062 × 32768)
    floor (25360.5)     		tx = 25360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746566772460938 × 215)
    floor (0.746566772460938 × 32768)
    floor (24463.5)     		ty = 24463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25360 / 24463 ti = "15/25360/24463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25360/24463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25360 ÷ 215
    25360 ÷ 32768     		x = 0.77392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24463 ÷ 215
    24463 ÷ 32768     		y = 0.746551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72112644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.49310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54912884812173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72112644} λ = 1.72112644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54912884812173))-π/2
    2×atan(0.21243295460928)-π/2
    2×0.209321243402099-π/2
    0.418642486804199-1.57079632675     		φ = -1.15215384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72112644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15215384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.013552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25360 KachelY 24463 1.72112644 -1.15215384 98.613281 -66.013552
    Oben rechts KachelX + 1 25361 KachelY 24463 1.72131819 -1.15215384 98.624267 -66.013552
    Unten links KachelX 25360 KachelY + 1 24464 1.72112644 -1.15223178 98.613281 -66.018018
    Unten rechts KachelX + 1 25361 KachelY + 1 24464 1.72131819 -1.15223178 98.624267 -66.018018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15215384--1.15223178) × R
    7.79399999999431e-05 × 6371000     		dl = 496.555739999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15215384--1.15223178) × R
    7.79399999999431e-05 × 6371000     		dr = 496.555739999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72112644-1.72131819) × cos(-1.15215384) × R
    0.000191750000000157 × 0.406520547427365 × 6371000     		do = 496.621456669162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72112644-1.72131819) × cos(-1.15223178) × R
    0.000191750000000157 × 0.406449336963359 × 6371000     		du = 496.534463171322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15215384)-sin(-1.15223178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406520547427365-0.406449336963359)×R²
    abs(1.72131819-1.72112644)×7.12104640054334e-05×R²
    0.000191750000000157×7.12104640054334e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.12104640054334e-05×40589641000000     		ar = 246578.636480726m²