Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25360 / 24304
↖ ↑ ↗
← S 65.293468°
E 98.613281°		 ← 510.61 m → S 65.293468°
E 98.624267°		 →
↑
510.57 m
↓
↑
510.57 m
↓
S 65.298059°
E 98.613281°		 ← 510.52 m →
260 680 m²		 S 65.298059°
E 98.624267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773941040039062 y=0.741714477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773941040039062 × 215)
    floor (0.773941040039062 × 32768)
    floor (25360.5)     		tx = 25360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741714477539062 × 215)
    floor (0.741714477539062 × 32768)
    floor (24304.5)     		ty = 24304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25360 / 24304 ti = "15/25360/24304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25360/24304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25360 ÷ 215
    25360 ÷ 32768     		x = 0.77392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24304 ÷ 215
    24304 ÷ 32768     		y = 0.74169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72112644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74169921875 × 2 - 1) × π
    -0.4833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72112644} λ = 1.72112644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51864097996338))-π/2
    2×atan(0.219009322853726)-π/2
    2×0.215605166819682-π/2
    0.431210333639364-1.57079632675     		φ = -1.13958599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72112644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13958599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.293468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25360 KachelY 24304 1.72112644 -1.13958599 98.613281 -65.293468
    Oben rechts KachelX + 1 25361 KachelY 24304 1.72131819 -1.13958599 98.624267 -65.293468
    Unten links KachelX 25360 KachelY + 1 24305 1.72112644 -1.13966613 98.613281 -65.298059
    Unten rechts KachelX + 1 25361 KachelY + 1 24305 1.72131819 -1.13966613 98.624267 -65.298059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13958599--1.13966613) × R
    8.01399999998953e-05 × 6371000     		dl = 510.571939999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13958599--1.13966613) × R
    8.01399999998953e-05 × 6371000     		dr = 510.571939999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72112644-1.72131819) × cos(-1.13958599) × R
    0.000191750000000157 × 0.417970651512596 × 6371000     		do = 510.609353236278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72112644-1.72131819) × cos(-1.13966613) × R
    0.000191750000000157 × 0.417897846143613 × 6371000     		du = 510.520411339917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13958599)-sin(-1.13966613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417970651512596-0.417897846143613)×R²
    abs(1.72131819-1.72112644)×7.28053689835195e-05×R²
    0.000191750000000157×7.28053689835195e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.28053689835195e-05×40589641000000     		ar = 260680.102585119m²