Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25359 / 24561
↖ ↑ ↗
← S 66.447497°
E 98.602295°		 ← 488.13 m → S 66.447497°
E 98.613281°		 →
↑
488.08 m
↓
↑
488.08 m
↓
S 66.451886°
E 98.602295°		 ← 488.04 m →
238 226 m²		 S 66.451886°
E 98.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773910522460938 y=0.749557495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773910522460938 × 215)
    floor (0.773910522460938 × 32768)
    floor (25359.5)     		tx = 25359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749557495117188 × 215)
    floor (0.749557495117188 × 32768)
    floor (24561.5)     		ty = 24561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25359 / 24561 ti = "15/25359/24561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25359/24561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25359 ÷ 215
    25359 ÷ 32768     		x = 0.773895263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24561 ÷ 215
    24561 ÷ 32768     		y = 0.749542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773895263671875 × 2 - 1) × π
    0.54779052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72093470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.49908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5679201127728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72093470} λ = 1.72093470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5679201127728))-π/2
    2×atan(0.208478343181167)-π/2
    2×0.205534362989278-π/2
    0.411068725978556-1.57079632675     		φ = -1.15972760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72093470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.602295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15972760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.447497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25359 KachelY 24561 1.72093470 -1.15972760 98.602295 -66.447497
    Oben rechts KachelX + 1 25360 KachelY 24561 1.72112644 -1.15972760 98.613281 -66.447497
    Unten links KachelX 25359 KachelY + 1 24562 1.72093470 -1.15980421 98.602295 -66.451886
    Unten rechts KachelX + 1 25360 KachelY + 1 24562 1.72112644 -1.15980421 98.613281 -66.451886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15972760--1.15980421) × R
    7.66099999998104e-05 × 6371000     		dl = 488.082309998792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15972760--1.15980421) × R
    7.66099999998104e-05 × 6371000     		dr = 488.082309998792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72093470-1.72112644) × cos(-1.15972760) × R
    0.000191739999999996 × 0.399589251754166 × 6371000     		do = 488.128455989781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72093470-1.72112644) × cos(-1.15980421) × R
    0.000191739999999996 × 0.399519022631707 × 6371000     		du = 488.042665811589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15972760)-sin(-1.15980421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399589251754166-0.399519022631707)×R²
    abs(1.72112644-1.72093470)×7.02291224589646e-05×R²
    0.000191739999999996×7.02291224589646e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.02291224589646e-05×40589641000000     		ar = 238225.928157368m²