Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25358 / 24364
↖ ↑ ↗
← S 65.567549°
E 98.591309°		 ← 505.29 m → S 65.567549°
E 98.602295°		 →
↑
505.28 m
↓
↑
505.28 m
↓
S 65.572094°
E 98.591309°		 ← 505.21 m →
255 295 m²		 S 65.572094°
E 98.602295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773880004882812 y=0.743545532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773880004882812 × 215)
    floor (0.773880004882812 × 32768)
    floor (25358.5)     		tx = 25358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743545532226562 × 215)
    floor (0.743545532226562 × 32768)
    floor (24364.5)     		ty = 24364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25358 / 24364 ti = "15/25358/24364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25358/24364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25358 ÷ 215
    25358 ÷ 32768     		x = 0.77386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24364 ÷ 215
    24364 ÷ 32768     		y = 0.7435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77386474609375 × 2 - 1) × π
    0.5477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72074295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53014583587219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72074295} λ = 1.72074295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53014583587219))-π/2
    2×atan(0.216504090950643)-π/2
    2×0.213213351022781-π/2
    0.426426702045561-1.57079632675     		φ = -1.14436962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72074295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.591309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14436962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.567549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25358 KachelY 24364 1.72074295 -1.14436962 98.591309 -65.567549
    Oben rechts KachelX + 1 25359 KachelY 24364 1.72093470 -1.14436962 98.602295 -65.567549
    Unten links KachelX 25358 KachelY + 1 24365 1.72074295 -1.14444893 98.591309 -65.572094
    Unten rechts KachelX + 1 25359 KachelY + 1 24365 1.72093470 -1.14444893 98.602295 -65.572094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14436962--1.14444893) × R
    7.93100000000546e-05 × 6371000     		dl = 505.284010000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14436962--1.14444893) × R
    7.93100000000546e-05 × 6371000     		dr = 505.284010000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72074295-1.72093470) × cos(-1.14436962) × R
    0.000191749999999935 × 0.413620146815381 × 6371000     		do = 505.294605940261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72074295-1.72093470) × cos(-1.14444893) × R
    0.000191749999999935 × 0.413547937761185 × 6371000     		du = 505.20639252545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14436962)-sin(-1.14444893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413620146815381-0.413547937761185)×R²
    abs(1.72093470-1.72074295)×7.22090541963039e-05×R²
    0.000191749999999935×7.22090541963039e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.22090541963039e-05×40589641000000     		ar = 255294.998440565m²