Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25358 / 24294
↖ ↑ ↗
← S 65.247508°
E 98.591309°		 ← 511.50 m → S 65.247508°
E 98.602295°		 →
↑
511.40 m
↓
↑
511.40 m
↓
S 65.252108°
E 98.591309°		 ← 511.41 m →
261 558 m²		 S 65.252108°
E 98.602295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773880004882812 y=0.741409301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773880004882812 × 215)
    floor (0.773880004882812 × 32768)
    floor (25358.5)     		tx = 25358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741409301757812 × 215)
    floor (0.741409301757812 × 32768)
    floor (24294.5)     		ty = 24294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25358 / 24294 ti = "15/25358/24294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25358/24294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25358 ÷ 215
    25358 ÷ 32768     		x = 0.77386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24294 ÷ 215
    24294 ÷ 32768     		y = 0.74139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77386474609375 × 2 - 1) × π
    0.5477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72074295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.4827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51672350397858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72074295} λ = 1.72074295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51672350397858))-π/2
    2×atan(0.219429670845544)-π/2
    2×0.216006240341136-π/2
    0.432012480682271-1.57079632675     		φ = -1.13878385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72074295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.591309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13878385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.247508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25358 KachelY 24294 1.72074295 -1.13878385 98.591309 -65.247508
    Oben rechts KachelX + 1 25359 KachelY 24294 1.72093470 -1.13878385 98.602295 -65.247508
    Unten links KachelX 25358 KachelY + 1 24295 1.72074295 -1.13886412 98.591309 -65.252108
    Unten rechts KachelX + 1 25359 KachelY + 1 24295 1.72093470 -1.13886412 98.602295 -65.252108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13878385--1.13886412) × R
    8.02699999999934e-05 × 6371000     		dl = 511.400169999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13878385--1.13886412) × R
    8.02699999999934e-05 × 6371000     		dr = 511.400169999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72074295-1.72093470) × cos(-1.13878385) × R
    0.000191749999999935 × 0.418699229496819 × 6371000     		do = 511.499412697899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72074295-1.72093470) × cos(-1.13886412) × R
    0.000191749999999935 × 0.418626332956921 × 6371000     		du = 511.410359423569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13878385)-sin(-1.13886412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418699229496819-0.418626332956921)×R²
    abs(1.72093470-1.72074295)×7.28965398987258e-05×R²
    0.000191749999999935×7.28965398987258e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.28965398987258e-05×40589641000000     		ar = 261558.115818824m²