Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25356 / 24684
↖ ↑ ↗
← S 66.981666°
E 98.569336°		 ← 477.69 m → S 66.981666°
E 98.580322°		 →
↑
477.63 m
↓
↑
477.63 m
↓
S 66.985961°
E 98.569336°		 ← 477.61 m →
228 142 m²		 S 66.985961°
E 98.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773818969726562 y=0.753311157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773818969726562 × 215)
    floor (0.773818969726562 × 32768)
    floor (25356.5)     		tx = 25356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753311157226562 × 215)
    floor (0.753311157226562 × 32768)
    floor (24684.5)     		ty = 24684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25356 / 24684 ti = "15/25356/24684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25356/24684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25356 ÷ 215
    25356 ÷ 32768     		x = 0.7738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24684 ÷ 215
    24684 ÷ 32768     		y = 0.7532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7738037109375 × 2 - 1) × π
    0.547607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72035945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59150506738586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72035945} λ = 1.72035945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59150506738586))-π/2
    2×atan(0.203618920800005)-π/2
    2×0.200872857350808-π/2
    0.401745714701615-1.57079632675     		φ = -1.16905061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72035945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16905061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.981666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25356 KachelY 24684 1.72035945 -1.16905061 98.569336 -66.981666
    Oben rechts KachelX + 1 25357 KachelY 24684 1.72055120 -1.16905061 98.580322 -66.981666
    Unten links KachelX 25356 KachelY + 1 24685 1.72035945 -1.16912558 98.569336 -66.985961
    Unten rechts KachelX + 1 25357 KachelY + 1 24685 1.72055120 -1.16912558 98.580322 -66.985961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16905061--1.16912558) × R
    7.49700000000075e-05 × 6371000     		dl = 477.633870000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16905061--1.16912558) × R
    7.49700000000075e-05 × 6371000     		dr = 477.633870000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72035945-1.72055120) × cos(-1.16905061) × R
    0.000191750000000157 × 0.391025659756983 × 6371000     		do = 477.692293716667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72035945-1.72055120) × cos(-1.16912558) × R
    0.000191750000000157 × 0.390956657786306 × 6371000     		du = 477.607998200961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16905061)-sin(-1.16912558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391025659756983-0.390956657786306)×R²
    abs(1.72055120-1.72035945)×6.90019706767742e-05×R²
    0.000191750000000157×6.90019706767742e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.90019706767742e-05×40589641000000     		ar = 228141.887827388m²