Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25355 / 24458
↖ ↑ ↗
← S 65.991212°
E 98.558350°		 ← 497.03 m → S 65.991212°
E 98.569336°		 →
↑
497 m
↓
↑
497 m
↓
S 65.995681°
E 98.558350°		 ← 496.94 m →
247 003 m²		 S 65.995681°
E 98.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773788452148438 y=0.746414184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773788452148438 × 215)
    floor (0.773788452148438 × 32768)
    floor (25355.5)     		tx = 25355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746414184570312 × 215)
    floor (0.746414184570312 × 32768)
    floor (24458.5)     		ty = 24458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25355 / 24458 ti = "15/25355/24458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25355/24458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25355 ÷ 215
    25355 ÷ 32768     		x = 0.773773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24458 ÷ 215
    24458 ÷ 32768     		y = 0.74639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773773193359375 × 2 - 1) × π
    0.54754638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72016771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.4927978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54817011012933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72016771} λ = 1.72016771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54817011012933))-π/2
    2×atan(0.212636719816817)-π/2
    2×0.209516202117813-π/2
    0.419032404235625-1.57079632675     		φ = -1.15176392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72016771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.558350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15176392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.991212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25355 KachelY 24458 1.72016771 -1.15176392 98.558350 -65.991212
    Oben rechts KachelX + 1 25356 KachelY 24458 1.72035945 -1.15176392 98.569336 -65.991212
    Unten links KachelX 25355 KachelY + 1 24459 1.72016771 -1.15184193 98.558350 -65.995681
    Unten rechts KachelX + 1 25356 KachelY + 1 24459 1.72035945 -1.15184193 98.569336 -65.995681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15176392--1.15184193) × R
    7.80099999999617e-05 × 6371000     		dl = 497.001709999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15176392--1.15184193) × R
    7.80099999999617e-05 × 6371000     		dr = 497.001709999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72016771-1.72035945) × cos(-1.15176392) × R
    0.000191739999999996 × 0.406876763663012 × 6371000     		do = 497.030702285086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72016771-1.72035945) × cos(-1.15184193) × R
    0.000191739999999996 × 0.406805501611611 × 6371000     		du = 496.943650306163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15176392)-sin(-1.15184193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406876763663012-0.406805501611611)×R²
    abs(1.72035945-1.72016771)×7.12620514015105e-05×R²
    0.000191739999999996×7.12620514015105e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.12620514015105e-05×40589641000000     		ar = 247003.476592119m²