Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25354 / 24290
↖ ↑ ↗
← S 65.229102°
E 98.547363°		 ← 511.86 m → S 65.229102°
E 98.558350°		 →
↑
511.78 m
↓
↑
511.78 m
↓
S 65.233705°
E 98.547363°		 ← 511.77 m →
261 936 m²		 S 65.233705°
E 98.558350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773757934570312 y=0.741287231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773757934570312 × 215)
    floor (0.773757934570312 × 32768)
    floor (25354.5)     		tx = 25354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741287231445312 × 215)
    floor (0.741287231445312 × 32768)
    floor (24290.5)     		ty = 24290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25354 / 24290 ti = "15/25354/24290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25354/24290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25354 ÷ 215
    25354 ÷ 32768     		x = 0.77374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24290 ÷ 215
    24290 ÷ 32768     		y = 0.74127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77374267578125 × 2 - 1) × π
    0.5474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71997596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.4825439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51595651358466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71997596} λ = 1.71997596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51595651358466))-π/2
    2×atan(0.219598035854142)-π/2
    2×0.216166865416257-π/2
    0.432333730832514-1.57079632675     		φ = -1.13846260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71997596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.547363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13846260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.229102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25354 KachelY 24290 1.71997596 -1.13846260 98.547363 -65.229102
    Oben rechts KachelX + 1 25355 KachelY 24290 1.72016771 -1.13846260 98.558350 -65.229102
    Unten links KachelX 25354 KachelY + 1 24291 1.71997596 -1.13854293 98.547363 -65.233705
    Unten rechts KachelX + 1 25355 KachelY + 1 24291 1.72016771 -1.13854293 98.558350 -65.233705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13846260--1.13854293) × R
    8.03300000000728e-05 × 6371000     		dl = 511.782430000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13846260--1.13854293) × R
    8.03300000000728e-05 × 6371000     		dr = 511.782430000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71997596-1.72016771) × cos(-1.13846260) × R
    0.000191749999999935 × 0.41899094303216 × 6371000     		do = 511.855781402427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71997596-1.72016771) × cos(-1.13854293) × R
    0.000191749999999935 × 0.418918002810526 × 6371000     		du = 511.766674764776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13846260)-sin(-1.13854293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41899094303216-0.418918002810526)×R²
    abs(1.72016771-1.71997596)×7.29402216335107e-05×R²
    0.000191749999999935×7.29402216335107e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.29402216335107e-05×40589641000000     		ar = 261935.994150955m²