Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25350 / 26368
↖ ↑ ↗
← N 33.137551°
W 40.748291°		 ← 511.45 m → N 33.137551°
W 40.742798°		 →
↑
511.46 m
↓
↑
511.46 m
↓
N 33.132951°
W 40.748291°		 ← 511.48 m →
261 595 m²		 N 33.132951°
W 40.742798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386817932128906 y=0.402351379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386817932128906 × 216)
    floor (0.386817932128906 × 65536)
    floor (25350.5)     		tx = 25350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402351379394531 × 216)
    floor (0.402351379394531 × 65536)
    floor (26368.5)     		ty = 26368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25350 / 26368 ti = "16/25350/26368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25350/26368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25350 ÷ 216
    25350 ÷ 65536     		x = 0.386810302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26368 ÷ 216
    26368 ÷ 65536     		y = 0.40234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386810302734375 × 2 - 1) × π
    -0.22637939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.71119184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40234375 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71119184} λ = -0.71119184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613592315136719))-π/2
    2×atan(1.84705469771943)-π/2
    2×1.07457785056741-π/2
    2.14915570113482-1.57079632675     		φ = 0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71119184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.748291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25350 KachelY 26368 -0.71119184 0.57835937 -40.748291 33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 25351 KachelY 26368 -0.71109597 0.57835937 -40.742798 33.137551
    Unten links KachelX 25350 KachelY + 1 26369 -0.71119184 0.57827909 -40.748291 33.132951
    Unten rechts KachelX + 1 25351 KachelY + 1 26369 -0.71109597 0.57827909 -40.742798 33.132951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57835937-0.57827909) × R
    8.02800000000436e-05 × 6371000     		dl = 511.463880000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57835937-0.57827909) × R
    8.02800000000436e-05 × 6371000     		dr = 511.463880000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71119184--0.71109597) × cos(0.57835937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 511.449630835457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71119184--0.71109597) × cos(0.57827909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837404510717924 × 6371000     		du = 511.476433689331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57835937)-sin(0.57827909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.837404510717924)×R²
    abs(-0.71109597--0.71119184)×4.38824337851695e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38824337851695e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38824337851695e-05×40589641000000     		ar = 261594.867097859m²