Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25349 / 26387
↖ ↑ ↗
← N 33.050112°
W 40.753784°		 ← 512.01 m → N 33.050112°
W 40.748291°		 →
↑
512.04 m
↓
↑
512.04 m
↓
N 33.045508°
W 40.753784°		 ← 512.04 m →
262 176 m²		 N 33.045508°
W 40.748291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386802673339844 y=0.402641296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386802673339844 × 216)
    floor (0.386802673339844 × 65536)
    floor (25349.5)     		tx = 25349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402641296386719 × 216)
    floor (0.402641296386719 × 65536)
    floor (26387.5)     		ty = 26387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25349 / 26387 ti = "16/25349/26387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25349/26387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25349 ÷ 216
    25349 ÷ 65536     		x = 0.386795043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26387 ÷ 216
    26387 ÷ 65536     		y = 0.402633666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386795043945312 × 2 - 1) × π
    -0.226409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.71128772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402633666992188 × 2 - 1) × π
    0.194732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.611770712951157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71128772} λ = -0.71128772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.611770712951157))-π/2
    2×atan(1.84369316146564)-π/2
    2×1.0738148020389-π/2
    2.1476296040778-1.57079632675     		φ = 0.57683328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71128772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.753784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57683328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.050112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25349 KachelY 26387 -0.71128772 0.57683328 -40.753784 33.050112
    Oben rechts KachelX + 1 25350 KachelY 26387 -0.71119184 0.57683328 -40.748291 33.050112
    Unten links KachelX 25349 KachelY + 1 26388 -0.71128772 0.57675291 -40.753784 33.045508
    Unten rechts KachelX + 1 25350 KachelY + 1 26388 -0.71119184 0.57675291 -40.748291 33.045508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57683328-0.57675291) × R
    8.03700000000518e-05 × 6371000     		dl = 512.03727000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57683328-0.57675291) × R
    8.03700000000518e-05 × 6371000     		dr = 512.03727000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71128772--0.71119184) × cos(0.57683328) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.838193891307225 × 6371000     		do = 512.011979031642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71128772--0.71119184) × cos(0.57675291) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.83823772017589 × 6371000     		du = 512.038751960933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57683328)-sin(0.57675291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838193891307225-0.83823772017589)×R²
    abs(-0.71119184--0.71128772)×4.38288686657184e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.38288686657184e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.38288686657184e-05×40589641000000     		ar = 262176.070460805m²