Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25348 / 26388
↖ ↑ ↗
← N 33.045508°
W 40.759277°		 ← 511.99 m → N 33.045508°
W 40.753784°		 →
↑
511.97 m
↓
↑
511.97 m
↓
N 33.040903°
W 40.759277°		 ← 512.01 m →
262 130 m²		 N 33.040903°
W 40.753784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386787414550781 y=0.402656555175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386787414550781 × 216)
    floor (0.386787414550781 × 65536)
    floor (25348.5)     		tx = 25348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402656555175781 × 216)
    floor (0.402656555175781 × 65536)
    floor (26388.5)     		ty = 26388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25348 / 26388 ti = "16/25348/26388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25348/26388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25348 ÷ 216
    25348 ÷ 65536     		x = 0.38677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26388 ÷ 216
    26388 ÷ 65536     		y = 0.40264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.2264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71138359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40264892578125 × 2 - 1) × π
    0.1947021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.611674839151917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71138359} λ = -0.71138359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.611674839151917))-π/2
    2×atan(1.84351640807076)-π/2
    2×1.07377462057197-π/2
    2.14754924114394-1.57079632675     		φ = 0.57675291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71138359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.759277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57675291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.045508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25348 KachelY 26388 -0.71138359 0.57675291 -40.759277 33.045508
    Oben rechts KachelX + 1 25349 KachelY 26388 -0.71128772 0.57675291 -40.753784 33.045508
    Unten links KachelX 25348 KachelY + 1 26389 -0.71138359 0.57667255 -40.759277 33.040903
    Unten rechts KachelX + 1 25349 KachelY + 1 26389 -0.71128772 0.57667255 -40.753784 33.040903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57675291-0.57667255) × R
    8.03600000000015e-05 × 6371000     		dl = 511.97356000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57675291-0.57667255) × R
    8.03600000000015e-05 × 6371000     		dr = 511.97356000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71138359--0.71128772) × cos(0.57675291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83823772017589 × 6371000     		do = 511.985347836105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71138359--0.71128772) × cos(0.57667255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83828153817772 × 6371000     		du = 512.012111335728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57675291)-sin(0.57667255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83823772017589-0.83828153817772)×R²
    abs(-0.71128772--0.71138359)×4.38180018296208e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38180018296208e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38180018296208e-05×40589641000000     		ar = 262129.812442568m²