Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25346 / 26370
↖ ↑ ↗
← N 33.128351°
W 40.770264°		 ← 511.56 m → N 33.128351°
W 40.764770°		 →
↑
511.53 m
↓
↑
511.53 m
↓
N 33.123751°
W 40.770264°		 ← 511.58 m →
261 682 m²		 N 33.123751°
W 40.764770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386756896972656 y=0.402381896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386756896972656 × 216)
    floor (0.386756896972656 × 65536)
    floor (25346.5)     		tx = 25346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402381896972656 × 216)
    floor (0.402381896972656 × 65536)
    floor (26370.5)     		ty = 26370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25346 / 26370 ti = "16/25346/26370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25346/26370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25346 ÷ 216
    25346 ÷ 65536     		x = 0.386749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26370 ÷ 216
    26370 ÷ 65536     		y = 0.402374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.22650146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.71157534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402374267578125 × 2 - 1) × π
    0.19525146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.613400567538239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71157534} λ = -0.71157534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613400567538239))-π/2
    2×atan(1.84670056337017)-π/2
    2×1.07449756541559-π/2
    2.14899513083117-1.57079632675     		φ = 0.57819880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71157534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.770264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57819880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.128351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25346 KachelY 26370 -0.71157534 0.57819880 -40.770264 33.128351
    Oben rechts KachelX + 1 25347 KachelY 26370 -0.71147946 0.57819880 -40.764770 33.128351
    Unten links KachelX 25346 KachelY + 1 26371 -0.71157534 0.57811851 -40.770264 33.123751
    Unten rechts KachelX + 1 25347 KachelY + 1 26371 -0.71147946 0.57811851 -40.764770 33.123751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57819880-0.57811851) × R
    8.02899999999829e-05 × 6371000     		dl = 511.527589999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57819880-0.57811851) × R
    8.02899999999829e-05 × 6371000     		dr = 511.527589999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71157534--0.71147946) × cos(0.57819880) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.837448393219904 × 6371000     		do = 511.556590422257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71157534--0.71147946) × cos(0.57811851) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.837492270323285 × 6371000     		du = 511.583392815796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57819880)-sin(0.57811851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837448393219904-0.837492270323285)×R²
    abs(-0.71147946--0.71157534)×4.38771033813845e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.38771033813845e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.38771033813845e-05×40589641000000     		ar = 261682.165069605m²