Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25346 / 24475
↖ ↑ ↗
← S 66.067090°
E 98.459473°		 ← 495.58 m → S 66.067090°
E 98.470459°		 →
↑
495.54 m
↓
↑
495.54 m
↓
S 66.071547°
E 98.459473°		 ← 495.49 m →
245 556 m²		 S 66.071547°
E 98.470459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773513793945312 y=0.746932983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773513793945312 × 215)
    floor (0.773513793945312 × 32768)
    floor (25346.5)     		tx = 25346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746932983398438 × 215)
    floor (0.746932983398438 × 32768)
    floor (24475.5)     		ty = 24475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25346 / 24475 ti = "15/25346/24475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25346/24475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25346 ÷ 215
    25346 ÷ 32768     		x = 0.77349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24475 ÷ 215
    24475 ÷ 32768     		y = 0.746917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77349853515625 × 2 - 1) × π
    0.5469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71844198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.49383544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5514298193035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71844198} λ = 1.71844198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5514298193035))-π/2
    2×atan(0.211944714431371)-π/2
    2×0.208854038703635-π/2
    0.41770807740727-1.57079632675     		φ = -1.15308825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71844198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15308825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.067090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25346 KachelY 24475 1.71844198 -1.15308825 98.459473 -66.067090
    Oben rechts KachelX + 1 25347 KachelY 24475 1.71863373 -1.15308825 98.470459 -66.067090
    Unten links KachelX 25346 KachelY + 1 24476 1.71844198 -1.15316603 98.459473 -66.071547
    Unten rechts KachelX + 1 25347 KachelY + 1 24476 1.71863373 -1.15316603 98.470459 -66.071547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15308825--1.15316603) × R
    7.77800000000273e-05 × 6371000     		dl = 495.536380000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15308825--1.15316603) × R
    7.77800000000273e-05 × 6371000     		dr = 495.536380000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71844198-1.71863373) × cos(-1.15308825) × R
    0.000191750000000157 × 0.405666654196684 × 6371000     		do = 495.578307183252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71844198-1.71863373) × cos(-1.15316603) × R
    0.000191750000000157 × 0.405595560408748 × 6371000     		du = 495.491456221478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15308825)-sin(-1.15316603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405666654196684-0.405595560408748)×R²
    abs(1.71863373-1.71844198)×7.10937879357942e-05×R²
    0.000191750000000157×7.10937879357942e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.10937879357942e-05×40589641000000     		ar = 245555.56156667m²