Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25343 / 26369
↖ ↑ ↗
← N 33.132951°
W 40.786743°		 ← 511.48 m → N 33.132951°
W 40.781250°		 →
↑
511.53 m
↓
↑
511.53 m
↓
N 33.128351°
W 40.786743°		 ← 511.50 m →
261 641 m²		 N 33.128351°
W 40.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386711120605469 y=0.402366638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386711120605469 × 216)
    floor (0.386711120605469 × 65536)
    floor (25343.5)     		tx = 25343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402366638183594 × 216)
    floor (0.402366638183594 × 65536)
    floor (26369.5)     		ty = 26369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25343 / 26369 ti = "16/25343/26369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25343/26369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25343 ÷ 216
    25343 ÷ 65536     		x = 0.386703491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26369 ÷ 216
    26369 ÷ 65536     		y = 0.402359008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386703491210938 × 2 - 1) × π
    -0.226593017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.71186296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402359008789062 × 2 - 1) × π
    0.195281982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.613496441337479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71186296} λ = -0.71186296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613496441337479))-π/2
    2×atan(1.84687762205675)-π/2
    2×1.0745377090433-π/2
    2.14907541808659-1.57079632675     		φ = 0.57827909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71186296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.786743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57827909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.132951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25343 KachelY 26369 -0.71186296 0.57827909 -40.786743 33.132951
    Oben rechts KachelX + 1 25344 KachelY 26369 -0.71176709 0.57827909 -40.781250 33.132951
    Unten links KachelX 25343 KachelY + 1 26370 -0.71186296 0.57819880 -40.786743 33.128351
    Unten rechts KachelX + 1 25344 KachelY + 1 26370 -0.71176709 0.57819880 -40.781250 33.128351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57827909-0.57819880) × R
    8.02899999999829e-05 × 6371000     		dl = 511.527589999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57827909-0.57819880) × R
    8.02899999999829e-05 × 6371000     		dr = 511.527589999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71186296--0.71176709) × cos(0.57827909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837404510717924 × 6371000     		do = 511.476433689331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71186296--0.71176709) × cos(0.57819880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837448393219904 × 6371000     		du = 511.503236584857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57827909)-sin(0.57819880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837404510717924-0.837448393219904)×R²
    abs(-0.71176709--0.71186296)×4.38825019791755e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38825019791755e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38825019791755e-05×40589641000000     		ar = 261641.162817987m²