Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25342 / 41726
↖ ↑ ↗
← S 44.079693°
W 40.792236°		 ← 438.77 m → S 44.079693°
W 40.786743°		 →
↑
438.77 m
↓
↑
438.77 m
↓
S 44.083639°
W 40.792236°		 ← 438.74 m →
192 515 m²		 S 44.083639°
W 40.786743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386695861816406 y=0.636695861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386695861816406 × 216)
    floor (0.386695861816406 × 65536)
    floor (25342.5)     		tx = 25342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636695861816406 × 216)
    floor (0.636695861816406 × 65536)
    floor (41726.5)     		ty = 41726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25342 / 41726 ti = "16/25342/41726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25342/41726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25342 ÷ 216
    25342 ÷ 65536     		x = 0.386688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41726 ÷ 216
    41726 ÷ 65536     		y = 0.636688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.22662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71195883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.27337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.858837493592926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71195883} λ = -0.71195883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858837493592926))-π/2
    2×atan(0.4236542969956)-π/2
    2×0.400730272953772-π/2
    0.801460545907544-1.57079632675     		φ = -0.76933578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71195883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.792236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76933578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.079693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25342 KachelY 41726 -0.71195883 -0.76933578 -40.792236 -44.079693
    Oben rechts KachelX + 1 25343 KachelY 41726 -0.71186296 -0.76933578 -40.786743 -44.079693
    Unten links KachelX 25342 KachelY + 1 41727 -0.71195883 -0.76940465 -40.792236 -44.083639
    Unten rechts KachelX + 1 25343 KachelY + 1 41727 -0.71186296 -0.76940465 -40.786743 -44.083639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76933578--0.76940465) × R
    6.88699999999987e-05 × 6371000     		dl = 438.770769999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76933578--0.76940465) × R
    6.88699999999987e-05 × 6371000     		dr = 438.770769999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71195883--0.71186296) × cos(-0.76933578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.718372898158289 × 6371000     		do = 438.773380494529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71195883--0.71186296) × cos(-0.76940465) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71832498647207 × 6371000     		du = 438.744116622546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76933578)-sin(-0.76940465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718372898158289-0.71832498647207)×R²
    abs(-0.71186296--0.71195883)×4.79116862193152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79116862193152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79116862193152e-05×40589641000000     		ar = 192514.514025224m²