Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25341 / 26364
↖ ↑ ↗
← N 33.155948°
W 40.797730°		 ← 511.40 m → N 33.155948°
W 40.792236°		 →
↑
511.34 m
↓
↑
511.34 m
↓
N 33.151349°
W 40.797730°		 ← 511.42 m →
261 502 m²		 N 33.151349°
W 40.792236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386680603027344 y=0.402290344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386680603027344 × 216)
    floor (0.386680603027344 × 65536)
    floor (25341.5)     		tx = 25341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402290344238281 × 216)
    floor (0.402290344238281 × 65536)
    floor (26364.5)     		ty = 26364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25341 / 26364 ti = "16/25341/26364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25341/26364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25341 ÷ 216
    25341 ÷ 65536     		x = 0.386672973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26364 ÷ 216
    26364 ÷ 65536     		y = 0.40228271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386672973632812 × 2 - 1) × π
    -0.226654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.71205471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40228271484375 × 2 - 1) × π
    0.1954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613975810333679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71205471} λ = -0.71205471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613975810333679))-π/2
    2×atan(1.84776317016374)-π/2
    2×1.07473839562497-π/2
    2.14947679124995-1.57079632675     		φ = 0.57868046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71205471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.797730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57868046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.155948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25341 KachelY 26364 -0.71205471 0.57868046 -40.797730 33.155948
    Oben rechts KachelX + 1 25342 KachelY 26364 -0.71195883 0.57868046 -40.792236 33.155948
    Unten links KachelX 25341 KachelY + 1 26365 -0.71205471 0.57860020 -40.797730 33.151349
    Unten rechts KachelX + 1 25342 KachelY + 1 26365 -0.71195883 0.57860020 -40.792236 33.151349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57868046-0.57860020) × R
    8.02599999999432e-05 × 6371000     		dl = 511.336459999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57868046-0.57860020) × R
    8.02599999999432e-05 × 6371000     		dr = 511.336459999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71205471--0.71195883) × cos(0.57868046) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.837185060992545 × 6371000     		do = 511.395733540851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71205471--0.71195883) × cos(0.57860020) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.837228954072316 × 6371000     		du = 511.422545693591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57868046)-sin(0.57860020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837185060992545-0.837228954072316)×R²
    abs(-0.71195883--0.71205471)×4.38930797710402e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.38930797710402e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.38930797710402e-05×40589641000000     		ar = 261502.139203625m²