Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25341 / 24493
↖ ↑ ↗
← S 66.147186°
E 98.404541°		 ← 494.02 m → S 66.147186°
E 98.415528°		 →
↑
494.01 m
↓
↑
494.01 m
↓
S 66.151628°
E 98.404541°		 ← 493.93 m →
244 027 m²		 S 66.151628°
E 98.415528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773361206054688 y=0.747482299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773361206054688 × 215)
    floor (0.773361206054688 × 32768)
    floor (25341.5)     		tx = 25341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747482299804688 × 215)
    floor (0.747482299804688 × 32768)
    floor (24493.5)     		ty = 24493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25341 / 24493 ti = "15/25341/24493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25341/24493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25341 ÷ 215
    25341 ÷ 32768     		x = 0.773345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24493 ÷ 215
    24493 ÷ 32768     		y = 0.747467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773345947265625 × 2 - 1) × π
    0.54669189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71748324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.49493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55488127607614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71748324} λ = 1.71748324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55488127607614))-π/2
    2×atan(0.211214457361611)-π/2
    2×0.208155071567335-π/2
    0.416310143134671-1.57079632675     		φ = -1.15448618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71748324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.404541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15448618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.147186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25341 KachelY 24493 1.71748324 -1.15448618 98.404541 -66.147186
    Oben rechts KachelX + 1 25342 KachelY 24493 1.71767499 -1.15448618 98.415528 -66.147186
    Unten links KachelX 25341 KachelY + 1 24494 1.71748324 -1.15456372 98.404541 -66.151628
    Unten rechts KachelX + 1 25342 KachelY + 1 24494 1.71767499 -1.15456372 98.415528 -66.151628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15448618--1.15456372) × R
    7.75400000001536e-05 × 6371000     		dl = 494.007340000979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15448618--1.15456372) × R
    7.75400000001536e-05 × 6371000     		dr = 494.007340000979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71748324-1.71767499) × cos(-1.15448618) × R
    0.000191749999999935 × 0.404388520722279 × 6371000     		do = 494.016889163607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71748324-1.71767499) × cos(-1.15456372) × R
    0.000191749999999935 × 0.404317602407637 × 6371000     		du = 493.930252566897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15448618)-sin(-1.15456372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404388520722279-0.404317602407637)×R²
    abs(1.71767499-1.71748324)×7.09183146417325e-05×R²
    0.000191749999999935×7.09183146417325e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.09183146417325e-05×40589641000000     		ar = 244026.569896793m²