Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25337 / 24631
↖ ↑ ↗
← S 66.752914°
E 98.360596°		 ← 482.18 m → S 66.752914°
E 98.371582°		 →
↑
482.16 m
↓
↑
482.16 m
↓
S 66.757250°
E 98.360596°		 ← 482.09 m →
232 465 m²		 S 66.757250°
E 98.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773239135742188 y=0.751693725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773239135742188 × 215)
    floor (0.773239135742188 × 32768)
    floor (25337.5)     		tx = 25337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751693725585938 × 215)
    floor (0.751693725585938 × 32768)
    floor (24631.5)     		ty = 24631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25337 / 24631 ti = "15/25337/24631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25337/24631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25337 ÷ 215
    25337 ÷ 32768     		x = 0.773223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24631 ÷ 215
    24631 ÷ 32768     		y = 0.751678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773223876953125 × 2 - 1) × π
    0.54644775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71671625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.50335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58134244466641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71671625} λ = 1.71671625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58134244466641))-π/2
    2×atan(0.205698773549663)-π/2
    2×0.202869096531935-π/2
    0.40573819306387-1.57079632675     		φ = -1.16505813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71671625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.360596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16505813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.752914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25337 KachelY 24631 1.71671625 -1.16505813 98.360596 -66.752914
    Oben rechts KachelX + 1 25338 KachelY 24631 1.71690800 -1.16505813 98.371582 -66.752914
    Unten links KachelX 25337 KachelY + 1 24632 1.71671625 -1.16513381 98.360596 -66.757250
    Unten rechts KachelX + 1 25338 KachelY + 1 24632 1.71690800 -1.16513381 98.371582 -66.757250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16505813--1.16513381) × R
    7.56799999999114e-05 × 6371000     		dl = 482.157279999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16505813--1.16513381) × R
    7.56799999999114e-05 × 6371000     		dr = 482.157279999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71671625-1.71690800) × cos(-1.16505813) × R
    0.000191750000000157 × 0.394697131395724 × 6371000     		do = 482.177507575819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71671625-1.71690800) × cos(-1.16513381) × R
    0.000191750000000157 × 0.394627594627558 × 6371000     		du = 482.092558730509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16505813)-sin(-1.16513381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394697131395724-0.394627594627558)×R²
    abs(1.71690800-1.71671625)×6.95367681662895e-05×R²
    0.000191750000000157×6.95367681662895e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.95367681662895e-05×40589641000000     		ar = 232464.916288432m²