Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25336 / 24614
↖ ↑ ↗
← S 66.679087°
E 98.349609°		 ← 483.62 m → S 66.679087°
E 98.360596°		 →
↑
483.56 m
↓
↑
483.56 m
↓
S 66.683436°
E 98.349609°		 ← 483.54 m →
233 840 m²		 S 66.683436°
E 98.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773208618164062 y=0.751174926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773208618164062 × 215)
    floor (0.773208618164062 × 32768)
    floor (25336.5)     		tx = 25336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751174926757812 × 215)
    floor (0.751174926757812 × 32768)
    floor (24614.5)     		ty = 24614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25336 / 24614 ti = "15/25336/24614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25336/24614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25336 ÷ 215
    25336 ÷ 32768     		x = 0.773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24614 ÷ 215
    24614 ÷ 32768     		y = 0.75115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773193359375 × 2 - 1) × π
    0.54638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71652450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.5023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57808273549225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71652450} λ = 1.71652450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57808273549225))-π/2
    2×atan(0.20637038576447)-π/2
    2×0.203513359599467-π/2
    0.407026719198933-1.57079632675     		φ = -1.16376961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71652450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16376961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.679087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25336 KachelY 24614 1.71652450 -1.16376961 98.349609 -66.679087
    Oben rechts KachelX + 1 25337 KachelY 24614 1.71671625 -1.16376961 98.360596 -66.679087
    Unten links KachelX 25336 KachelY + 1 24615 1.71652450 -1.16384551 98.349609 -66.683436
    Unten rechts KachelX + 1 25337 KachelY + 1 24615 1.71671625 -1.16384551 98.360596 -66.683436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16376961--1.16384551) × R
    7.59000000001286e-05 × 6371000     		dl = 483.55890000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16376961--1.16384551) × R
    7.59000000001286e-05 × 6371000     		dr = 483.55890000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71652450-1.71671625) × cos(-1.16376961) × R
    0.000191749999999935 × 0.395880710128403 × 6371000     		do = 483.623413810566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71652450-1.71671625) × cos(-1.16384551) × R
    0.000191749999999935 × 0.3958110098705 × 6371000     		du = 483.538265239776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16376961)-sin(-1.16384551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395880710128403-0.3958110098705)×R²
    abs(1.71671625-1.71652450)×6.97002579033157e-05×R²
    0.000191749999999935×6.97002579033157e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.97002579033157e-05×40589641000000     		ar = 233839.818934102m²