Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25335 / 24440
↖ ↑ ↗
← S 65.910623°
E 98.338623°		 ← 498.63 m → S 65.910623°
E 98.349609°		 →
↑
498.59 m
↓
↑
498.59 m
↓
S 65.915107°
E 98.338623°		 ← 498.54 m →
248 590 m²		 S 65.915107°
E 98.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773178100585938 y=0.745864868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773178100585938 × 215)
    floor (0.773178100585938 × 32768)
    floor (25335.5)     		tx = 25335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745864868164062 × 215)
    floor (0.745864868164062 × 32768)
    floor (24440.5)     		ty = 24440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25335 / 24440 ti = "15/25335/24440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25335/24440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25335 ÷ 215
    25335 ÷ 32768     		x = 0.773162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24440 ÷ 215
    24440 ÷ 32768     		y = 0.745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773162841796875 × 2 - 1) × π
    0.54632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71633275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.49169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54471865335669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71633275} λ = 1.71633275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54471865335669))-π/2
    2×atan(0.213371894245104)-π/2
    2×0.210219468726778-π/2
    0.420438937453557-1.57079632675     		φ = -1.15035739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71633275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.338623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15035739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.910623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25335 KachelY 24440 1.71633275 -1.15035739 98.338623 -65.910623
    Oben rechts KachelX + 1 25336 KachelY 24440 1.71652450 -1.15035739 98.349609 -65.910623
    Unten links KachelX 25335 KachelY + 1 24441 1.71633275 -1.15043565 98.338623 -65.915107
    Unten rechts KachelX + 1 25336 KachelY + 1 24441 1.71652450 -1.15043565 98.349609 -65.915107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15035739--1.15043565) × R
    7.82599999999967e-05 × 6371000     		dl = 498.594459999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15035739--1.15043565) × R
    7.82599999999967e-05 × 6371000     		dr = 498.594459999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71633275-1.71652450) × cos(-1.15035739) × R
    0.000191749999999935 × 0.40816120209893 × 6371000     		do = 498.625744811066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71633275-1.71652450) × cos(-1.15043565) × R
    0.000191749999999935 × 0.408089756522558 × 6371000     		du = 498.538464090731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15035739)-sin(-1.15043565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40816120209893-0.408089756522558)×R²
    abs(1.71652450-1.71633275)×7.1445576372009e-05×R²
    0.000191749999999935×7.1445576372009e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.1445576372009e-05×40589641000000     		ar = 248590.275261114m²