Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25333 / 24445
↖ ↑ ↗
← S 65.933035°
E 98.316650°		 ← 498.19 m → S 65.933035°
E 98.327637°		 →
↑
498.15 m
↓
↑
498.15 m
↓
S 65.937515°
E 98.316650°		 ← 498.10 m →
248 151 m²		 S 65.937515°
E 98.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773117065429688 y=0.746017456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773117065429688 × 215)
    floor (0.773117065429688 × 32768)
    floor (25333.5)     		tx = 25333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746017456054688 × 215)
    floor (0.746017456054688 × 32768)
    floor (24445.5)     		ty = 24445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25333 / 24445 ti = "15/25333/24445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25333/24445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25333 ÷ 215
    25333 ÷ 32768     		x = 0.773101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24445 ÷ 215
    24445 ÷ 32768     		y = 0.746002197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773101806640625 × 2 - 1) × π
    0.54620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71594926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.49200439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54567739134909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71594926} λ = 1.71594926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54567739134909))-π/2
    2×atan(0.213167424535682)-π/2
    2×0.210023894505553-π/2
    0.420047789011105-1.57079632675     		φ = -1.15074854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71594926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.316650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15074854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.933035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25333 KachelY 24445 1.71594926 -1.15074854 98.316650 -65.933035
    Oben rechts KachelX + 1 25334 KachelY 24445 1.71614101 -1.15074854 98.327637 -65.933035
    Unten links KachelX 25333 KachelY + 1 24446 1.71594926 -1.15082673 98.316650 -65.937515
    Unten rechts KachelX + 1 25334 KachelY + 1 24446 1.71614101 -1.15082673 98.327637 -65.937515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15074854--1.15082673) × R
    7.8189999999978e-05 × 6371000     		dl = 498.14848999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15074854--1.15082673) × R
    7.8189999999978e-05 × 6371000     		dr = 498.14848999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71594926-1.71614101) × cos(-1.15074854) × R
    0.000191750000000157 × 0.40780408618789 × 6371000     		do = 498.189477997918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71594926-1.71614101) × cos(-1.15082673) × R
    0.000191750000000157 × 0.407732692040787 × 6371000     		du = 498.102260105596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15074854)-sin(-1.15082673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40780408618789-0.407732692040787)×R²
    abs(1.71614101-1.71594926)×7.13941471034429e-05×R²
    0.000191750000000157×7.13941471034429e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.13941471034429e-05×40589641000000     		ar = 248150.612594257m²