Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25332 / 24564
↖ ↑ ↗
← S 66.460663°
E 98.305664°		 ← 487.90 m → S 66.460663°
E 98.316650°		 →
↑
487.83 m
↓
↑
487.83 m
↓
S 66.465051°
E 98.305664°		 ← 487.81 m →
237 988 m²		 S 66.465051°
E 98.316650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773086547851562 y=0.749649047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773086547851562 × 215)
    floor (0.773086547851562 × 32768)
    floor (25332.5)     		tx = 25332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749649047851562 × 215)
    floor (0.749649047851562 × 32768)
    floor (24564.5)     		ty = 24564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25332 / 24564 ti = "15/25332/24564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25332/24564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25332 ÷ 215
    25332 ÷ 32768     		x = 0.7730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24564 ÷ 215
    24564 ÷ 32768     		y = 0.7496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7730712890625 × 2 - 1) × π
    0.546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71575751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56849535556824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71575751} λ = 1.71575751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56849535556824))-π/2
    2×atan(0.208358452002821)-π/2
    2×0.205419462868733-π/2
    0.410838925737465-1.57079632675     		φ = -1.15995740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71575751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15995740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.460663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25332 KachelY 24564 1.71575751 -1.15995740 98.305664 -66.460663
    Oben rechts KachelX + 1 25333 KachelY 24564 1.71594926 -1.15995740 98.316650 -66.460663
    Unten links KachelX 25332 KachelY + 1 24565 1.71575751 -1.16003397 98.305664 -66.465051
    Unten rechts KachelX + 1 25333 KachelY + 1 24565 1.71594926 -1.16003397 98.316650 -66.465051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15995740--1.16003397) × R
    7.65700000000535e-05 × 6371000     		dl = 487.827470000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15995740--1.16003397) × R
    7.65700000000535e-05 × 6371000     		dr = 487.827470000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71575751-1.71594926) × cos(-1.15995740) × R
    0.000191749999999935 × 0.399378584856342 × 6371000     		do = 487.896554869798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71575751-1.71594926) × cos(-1.16003397) × R
    0.000191749999999935 × 0.399308385374263 × 6371000     		du = 487.81079642716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15995740)-sin(-1.16003397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399378584856342-0.399308385374263)×R²
    abs(1.71594926-1.71575751)×7.01994820792584e-05×R²
    0.000191749999999935×7.01994820792584e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.01994820792584e-05×40589641000000     		ar = 237988.42443854m²