Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25332 / 24492
↖ ↑ ↗
← S 66.142743°
E 98.305664°		 ← 494.10 m → S 66.142743°
E 98.316650°		 →
↑
494.01 m
↓
↑
494.01 m
↓
S 66.147186°
E 98.305664°		 ← 494.02 m →
244 069 m²		 S 66.147186°
E 98.316650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773086547851562 y=0.747451782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773086547851562 × 215)
    floor (0.773086547851562 × 32768)
    floor (25332.5)     		tx = 25332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747451782226562 × 215)
    floor (0.747451782226562 × 32768)
    floor (24492.5)     		ty = 24492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25332 / 24492 ti = "15/25332/24492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25332/24492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25332 ÷ 215
    25332 ÷ 32768     		x = 0.7730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24492 ÷ 215
    24492 ÷ 32768     		y = 0.7474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7730712890625 × 2 - 1) × π
    0.546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71575751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55468952847766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71575751} λ = 1.71575751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55468952847766))-π/2
    2×atan(0.211254961109698)-π/2
    2×0.208193845230594-π/2
    0.416387690461188-1.57079632675     		φ = -1.15440864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71575751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15440864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.142743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25332 KachelY 24492 1.71575751 -1.15440864 98.305664 -66.142743
    Oben rechts KachelX + 1 25333 KachelY 24492 1.71594926 -1.15440864 98.316650 -66.142743
    Unten links KachelX 25332 KachelY + 1 24493 1.71575751 -1.15448618 98.305664 -66.147186
    Unten rechts KachelX + 1 25333 KachelY + 1 24493 1.71594926 -1.15448618 98.316650 -66.147186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15440864--1.15448618) × R
    7.75399999999316e-05 × 6371000     		dl = 494.007339999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15440864--1.15448618) × R
    7.75399999999316e-05 × 6371000     		dr = 494.007339999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71575751-1.71594926) × cos(-1.15440864) × R
    0.000191749999999935 × 0.404459436605554 × 6371000     		do = 494.103522790064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71575751-1.71594926) × cos(-1.15448618) × R
    0.000191749999999935 × 0.404388520722279 × 6371000     		du = 494.016889163607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15440864)-sin(-1.15448618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404459436605554-0.404388520722279)×R²
    abs(1.71594926-1.71575751)×7.09158832751799e-05×R²
    0.000191749999999935×7.09158832751799e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.09158832751799e-05×40589641000000     		ar = 244069.368276308m²