Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25330 / 24499
↖ ↑ ↗
← S 66.173828°
E 98.283692°		 ← 493.47 m → S 66.173828°
E 98.294678°		 →
↑
493.43 m
↓
↑
493.43 m
↓
S 66.178266°
E 98.283692°		 ← 493.39 m →
243 474 m²		 S 66.178266°
E 98.294678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773025512695312 y=0.747665405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773025512695312 × 215)
    floor (0.773025512695312 × 32768)
    floor (25330.5)     		tx = 25330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747665405273438 × 215)
    floor (0.747665405273438 × 32768)
    floor (24499.5)     		ty = 24499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25330 / 24499 ti = "15/25330/24499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25330/24499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25330 ÷ 215
    25330 ÷ 32768     		x = 0.77301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24499 ÷ 215
    24499 ÷ 32768     		y = 0.747650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77301025390625 × 2 - 1) × π
    0.5460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71537402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.49530029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55603176166702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71537402} λ = 1.71537402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55603176166702))-π/2
    2×atan(0.210971597901773)-π/2
    2×0.207922572336107-π/2
    0.415845144672213-1.57079632675     		φ = -1.15495118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71537402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.283692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15495118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.173828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25330 KachelY 24499 1.71537402 -1.15495118 98.283692 -66.173828
    Oben rechts KachelX + 1 25331 KachelY 24499 1.71556576 -1.15495118 98.294678 -66.173828
    Unten links KachelX 25330 KachelY + 1 24500 1.71537402 -1.15502863 98.283692 -66.178266
    Unten rechts KachelX + 1 25331 KachelY + 1 24500 1.71556576 -1.15502863 98.294678 -66.178266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15495118--1.15502863) × R
    7.74499999998124e-05 × 6371000     		dl = 493.433949998805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15495118--1.15502863) × R
    7.74499999998124e-05 × 6371000     		dr = 493.433949998805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71537402-1.71556576) × cos(-1.15495118) × R
    0.000191739999999996 × 0.403963193924926 × 6371000     		do = 493.471556758956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71537402-1.71556576) × cos(-1.15502863) × R
    0.000191739999999996 × 0.403892343371147 × 6371000     		du = 493.385007455463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15495118)-sin(-1.15502863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403963193924926-0.403892343371147)×R²
    abs(1.71556576-1.71537402)×7.08505537794779e-05×R²
    0.000191739999999996×7.08505537794779e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.08505537794779e-05×40589641000000     		ar = 243474.26640268m²