Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25329 / 24696
↖ ↑ ↗
← S 67.033163°
E 98.272705°		 ← 476.68 m → S 67.033163°
E 98.283692°		 →
↑
476.61 m
↓
↑
476.61 m
↓
S 67.037449°
E 98.272705°		 ← 476.60 m →
227 173 m²		 S 67.037449°
E 98.283692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772994995117188 y=0.753677368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772994995117188 × 215)
    floor (0.772994995117188 × 32768)
    floor (25329.5)     		tx = 25329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753677368164062 × 215)
    floor (0.753677368164062 × 32768)
    floor (24696.5)     		ty = 24696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25329 / 24696 ti = "15/25329/24696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25329/24696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25329 ÷ 215
    25329 ÷ 32768     		x = 0.772979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24696 ÷ 215
    24696 ÷ 32768     		y = 0.753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772979736328125 × 2 - 1) × π
    0.54595947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71518227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.50732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59380603856763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71518227} λ = 1.71518227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59380603856763))-π/2
    2×atan(0.20315093814496)-π/2
    2×0.200423464049597-π/2
    0.400846928099194-1.57079632675     		φ = -1.16994940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71518227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16994940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.033163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25329 KachelY 24696 1.71518227 -1.16994940 98.272705 -67.033163
    Oben rechts KachelX + 1 25330 KachelY 24696 1.71537402 -1.16994940 98.283692 -67.033163
    Unten links KachelX 25329 KachelY + 1 24697 1.71518227 -1.17002421 98.272705 -67.037449
    Unten rechts KachelX + 1 25330 KachelY + 1 24697 1.71537402 -1.17002421 98.283692 -67.037449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16994940--1.17002421) × R
    7.48100000000917e-05 × 6371000     		dl = 476.614510000585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16994940--1.17002421) × R
    7.48100000000917e-05 × 6371000     		dr = 476.614510000585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71518227-1.71537402) × cos(-1.16994940) × R
    0.000191750000000157 × 0.390198273788991 × 6371000     		do = 476.681526543269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71518227-1.71537402) × cos(-1.17002421) × R
    0.000191750000000157 × 0.390129392821923 × 6371000     		du = 476.597378850319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16994940)-sin(-1.17002421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390198273788991-0.390129392821923)×R²
    abs(1.71537402-1.71518227)×6.88809670689183e-05×R²
    0.000191750000000157×6.88809670689183e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.88809670689183e-05×40589641000000     		ar = 227173.279299727m²