Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25327 / 24497
↖ ↑ ↗
← S 66.164951°
E 98.250732°		 ← 493.67 m → S 66.164951°
E 98.261719°		 →
↑
493.63 m
↓
↑
493.63 m
↓
S 66.169390°
E 98.250732°		 ← 493.58 m →
243 667 m²		 S 66.169390°
E 98.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772933959960938 y=0.747604370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772933959960938 × 215)
    floor (0.772933959960938 × 32768)
    floor (25327.5)     		tx = 25327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747604370117188 × 215)
    floor (0.747604370117188 × 32768)
    floor (24497.5)     		ty = 24497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25327 / 24497 ti = "15/25327/24497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25327/24497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25327 ÷ 215
    25327 ÷ 32768     		x = 0.772918701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24497 ÷ 215
    24497 ÷ 32768     		y = 0.747589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772918701171875 × 2 - 1) × π
    0.54583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71479877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.49517822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55564826647006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71479877} λ = 1.71479877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55564826647006))-π/2
    2×atan(0.211052520011892)-π/2
    2×0.208000044896088-π/2
    0.416000089792175-1.57079632675     		φ = -1.15479624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71479877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.250732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15479624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.164951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25327 KachelY 24497 1.71479877 -1.15479624 98.250732 -66.164951
    Oben rechts KachelX + 1 25328 KachelY 24497 1.71499052 -1.15479624 98.261719 -66.164951
    Unten links KachelX 25327 KachelY + 1 24498 1.71479877 -1.15487372 98.250732 -66.169390
    Unten rechts KachelX + 1 25328 KachelY + 1 24498 1.71499052 -1.15487372 98.261719 -66.169390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15479624--1.15487372) × R
    7.74800000000742e-05 × 6371000     		dl = 493.625080000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15479624--1.15487372) × R
    7.74800000000742e-05 × 6371000     		dr = 493.625080000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71479877-1.71499052) × cos(-1.15479624) × R
    0.000191749999999935 × 0.404104924351044 × 6371000     		do = 493.670436705349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71479877-1.71499052) × cos(-1.15487372) × R
    0.000191749999999935 × 0.404034051202971 × 6371000     		du = 493.583855285892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15479624)-sin(-1.15487372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404104924351044-0.404034051202971)×R²
    abs(1.71499052-1.71479877)×7.08731480726366e-05×R²
    0.000191749999999935×7.08731480726366e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.08731480726366e-05×40589641000000     		ar = 243666.739554282m²