Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25326 / 24417
↖ ↑ ↗
← S 65.807279°
E 98.239746°		 ← 500.61 m → S 65.807279°
E 98.250732°		 →
↑
500.57 m
↓
↑
500.57 m
↓
S 65.811781°
E 98.239746°		 ← 500.52 m →
250 568 m²		 S 65.811781°
E 98.250732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772903442382812 y=0.745162963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772903442382812 × 215)
    floor (0.772903442382812 × 32768)
    floor (25326.5)     		tx = 25326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745162963867188 × 215)
    floor (0.745162963867188 × 32768)
    floor (24417.5)     		ty = 24417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25326 / 24417 ti = "15/25326/24417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25326/24417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25326 ÷ 215
    25326 ÷ 32768     		x = 0.77288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24417 ÷ 215
    24417 ÷ 32768     		y = 0.745147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77288818359375 × 2 - 1) × π
    0.5457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71460703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745147705078125 × 2 - 1) × π
    -0.49029541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54030845859164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71460703} λ = 1.71460703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54030845859164))-π/2
    2×atan(0.214314983932136)-π/2
    2×0.211121317692479-π/2
    0.422242635384957-1.57079632675     		φ = -1.14855369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71460703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14855369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.807279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25326 KachelY 24417 1.71460703 -1.14855369 98.239746 -65.807279
    Oben rechts KachelX + 1 25327 KachelY 24417 1.71479877 -1.14855369 98.250732 -65.807279
    Unten links KachelX 25326 KachelY + 1 24418 1.71460703 -1.14863226 98.239746 -65.811781
    Unten rechts KachelX + 1 25327 KachelY + 1 24418 1.71479877 -1.14863226 98.250732 -65.811781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14855369--1.14863226) × R
    7.85700000001111e-05 × 6371000     		dl = 500.569470000707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14855369--1.14863226) × R
    7.85700000001111e-05 × 6371000     		dr = 500.569470000707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71460703-1.71479877) × cos(-1.14855369) × R
    0.000191739999999996 × 0.409807152798831 × 6371000     		do = 500.610393976084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71460703-1.71479877) × cos(-1.14863226) × R
    0.000191739999999996 × 0.409735482165305 × 6371000     		du = 500.522842883232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14855369)-sin(-1.14863226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409807152798831-0.409735482165305)×R²
    abs(1.71479877-1.71460703)×7.16706335262551e-05×R²
    0.000191739999999996×7.16706335262551e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.16706335262551e-05×40589641000000     		ar = 250568.367016357m²