Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25324 / 24422
↖ ↑ ↗
← S 65.829781°
E 98.217773°		 ← 500.20 m → S 65.829781°
E 98.228760°		 →
↑
500.12 m
↓
↑
500.12 m
↓
S 65.834278°
E 98.217773°		 ← 500.11 m →
250 139 m²		 S 65.834278°
E 98.228760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772842407226562 y=0.745315551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772842407226562 × 215)
    floor (0.772842407226562 × 32768)
    floor (25324.5)     		tx = 25324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745315551757812 × 215)
    floor (0.745315551757812 × 32768)
    floor (24422.5)     		ty = 24422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25324 / 24422 ti = "15/25324/24422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25324/24422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25324 ÷ 215
    25324 ÷ 32768     		x = 0.7728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24422 ÷ 215
    24422 ÷ 32768     		y = 0.74530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7728271484375 × 2 - 1) × π
    0.545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71422353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.4906005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54126719658405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71422353} λ = 1.71422353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54126719658405))-π/2
    2×atan(0.214109610480096)-π/2
    2×0.210924954730244-π/2
    0.421849909460489-1.57079632675     		φ = -1.14894642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71422353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14894642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.829781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25324 KachelY 24422 1.71422353 -1.14894642 98.217773 -65.829781
    Oben rechts KachelX + 1 25325 KachelY 24422 1.71441528 -1.14894642 98.228760 -65.829781
    Unten links KachelX 25324 KachelY + 1 24423 1.71422353 -1.14902492 98.217773 -65.834278
    Unten rechts KachelX + 1 25325 KachelY + 1 24423 1.71441528 -1.14902492 98.228760 -65.834278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14894642--1.14902492) × R
    7.85000000000924e-05 × 6371000     		dl = 500.123500000589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14894642--1.14902492) × R
    7.85000000000924e-05 × 6371000     		dr = 500.123500000589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71422353-1.71441528) × cos(-1.14894642) × R
    0.000191750000000157 × 0.40944888382162 × 6371000     		do = 500.198827345591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71422353-1.71441528) × cos(-1.14902492) × R
    0.000191750000000157 × 0.409377264414956 × 6371000     		du = 500.111334267349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14894642)-sin(-1.14902492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40944888382162-0.409377264414956)×R²
    abs(1.71441528-1.71422353)×7.16194066639475e-05×R²
    0.000191750000000157×7.16194066639475e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.16194066639475e-05×40589641000000     		ar = 250139.309684259m²