Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25323 / 24420
↖ ↑ ↗
← S 65.820782°
E 98.206787°		 ← 500.37 m → S 65.820782°
E 98.217773°		 →
↑
500.31 m
↓
↑
500.31 m
↓
S 65.825282°
E 98.206787°		 ← 500.29 m →
250 322 m²		 S 65.825282°
E 98.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772811889648438 y=0.745254516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772811889648438 × 215)
    floor (0.772811889648438 × 32768)
    floor (25323.5)     		tx = 25323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745254516601562 × 215)
    floor (0.745254516601562 × 32768)
    floor (24420.5)     		ty = 24420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25323 / 24420 ti = "15/25323/24420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25323/24420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25323 ÷ 215
    25323 ÷ 32768     		x = 0.772796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24420 ÷ 215
    24420 ÷ 32768     		y = 0.7452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772796630859375 × 2 - 1) × π
    0.54559326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71403178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.490478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54088370138709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71403178} λ = 1.71403178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54088370138709))-π/2
    2×atan(0.214191736233747)-π/2
    2×0.211003479306667-π/2
    0.422006958613333-1.57079632675     		φ = -1.14878937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71403178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.206787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14878937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.820782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25323 KachelY 24420 1.71403178 -1.14878937 98.206787 -65.820782
    Oben rechts KachelX + 1 25324 KachelY 24420 1.71422353 -1.14878937 98.217773 -65.820782
    Unten links KachelX 25323 KachelY + 1 24421 1.71403178 -1.14886790 98.206787 -65.825282
    Unten rechts KachelX + 1 25324 KachelY + 1 24421 1.71422353 -1.14886790 98.217773 -65.825282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14878937--1.14886790) × R
    7.85299999999101e-05 × 6371000     		dl = 500.314629999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14878937--1.14886790) × R
    7.85299999999101e-05 × 6371000     		dr = 500.314629999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71403178-1.71422353) × cos(-1.14878937) × R
    0.000191749999999935 × 0.409592160678565 × 6371000     		do = 500.373859977072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71403178-1.71422353) × cos(-1.14886790) × R
    0.000191749999999935 × 0.409520518951176 × 6371000     		du = 500.286339630956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14878937)-sin(-1.14886790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409592160678565-0.409520518951176)×R²
    abs(1.71422353-1.71403178)×7.16417273892156e-05×R²
    0.000191749999999935×7.16417273892156e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.16417273892156e-05×40589641000000     		ar = 250322.468889172m²