Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25322 / 24565
↖ ↑ ↗
← S 66.465051°
E 98.195801°		 ← 487.79 m → S 66.465051°
E 98.206787°		 →
↑
487.76 m
↓
↑
487.76 m
↓
S 66.469437°
E 98.195801°		 ← 487.70 m →
237 903 m²		 S 66.469437°
E 98.206787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772781372070312 y=0.749679565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772781372070312 × 215)
    floor (0.772781372070312 × 32768)
    floor (25322.5)     		tx = 25322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749679565429688 × 215)
    floor (0.749679565429688 × 32768)
    floor (24565.5)     		ty = 24565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25322 / 24565 ti = "15/25322/24565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25322/24565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25322 ÷ 215
    25322 ÷ 32768     		x = 0.77276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24565 ÷ 215
    24565 ÷ 32768     		y = 0.749664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77276611328125 × 2 - 1) × π
    0.5455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71384004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.49932861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56868710316672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71384004} λ = 1.71384004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56868710316672))-π/2
    2×atan(0.208318503600154)-π/2
    2×0.205381176291924-π/2
    0.410762352583849-1.57079632675     		φ = -1.16003397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71384004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16003397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.465051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25322 KachelY 24565 1.71384004 -1.16003397 98.195801 -66.465051
    Oben rechts KachelX + 1 25323 KachelY 24565 1.71403178 -1.16003397 98.206787 -66.465051
    Unten links KachelX 25322 KachelY + 1 24566 1.71384004 -1.16011053 98.195801 -66.469437
    Unten rechts KachelX + 1 25323 KachelY + 1 24566 1.71403178 -1.16011053 98.206787 -66.469437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16003397--1.16011053) × R
    7.65600000001143e-05 × 6371000     		dl = 487.763760000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16003397--1.16011053) × R
    7.65600000001143e-05 × 6371000     		dr = 487.763760000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71384004-1.71403178) × cos(-1.16003397) × R
    0.000191739999999996 × 0.399308385374263 × 6371000     		do = 487.785356490083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71384004-1.71403178) × cos(-1.16011053) × R
    0.000191739999999996 × 0.399238192719525 × 6371000     		du = 487.699610859967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16003397)-sin(-1.16011053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399308385374263-0.399238192719525)×R²
    abs(1.71403178-1.71384004)×7.0192654737955e-05×R²
    0.000191739999999996×7.0192654737955e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.0192654737955e-05×40589641000000     		ar = 237903.10786555m²