Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25321 / 24685
↖ ↑ ↗
← S 66.985961°
E 98.184815°		 ← 477.61 m → S 66.985961°
E 98.195801°		 →
↑
477.57 m
↓
↑
477.57 m
↓
S 66.990256°
E 98.184815°		 ← 477.52 m →
228 071 m²		 S 66.990256°
E 98.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772750854492188 y=0.753341674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772750854492188 × 215)
    floor (0.772750854492188 × 32768)
    floor (25321.5)     		tx = 25321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753341674804688 × 215)
    floor (0.753341674804688 × 32768)
    floor (24685.5)     		ty = 24685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25321 / 24685 ti = "15/25321/24685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25321/24685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25321 ÷ 215
    25321 ÷ 32768     		x = 0.772735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24685 ÷ 215
    24685 ÷ 32768     		y = 0.753326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772735595703125 × 2 - 1) × π
    0.54547119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71364829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.50665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59169681498434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71364829} λ = 1.71364829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59169681498434))-π/2
    2×atan(0.20357988110394)-π/2
    2×0.200835371543283-π/2
    0.401670743086565-1.57079632675     		φ = -1.16912558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71364829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.184815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16912558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.985961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25321 KachelY 24685 1.71364829 -1.16912558 98.184815 -66.985961
    Oben rechts KachelX + 1 25322 KachelY 24685 1.71384004 -1.16912558 98.195801 -66.985961
    Unten links KachelX 25321 KachelY + 1 24686 1.71364829 -1.16920054 98.184815 -66.990256
    Unten rechts KachelX + 1 25322 KachelY + 1 24686 1.71384004 -1.16920054 98.195801 -66.990256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16912558--1.16920054) × R
    7.49600000000683e-05 × 6371000     		dl = 477.570160000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16912558--1.16920054) × R
    7.49600000000683e-05 × 6371000     		dr = 477.570160000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71364829-1.71384004) × cos(-1.16912558) × R
    0.000191749999999935 × 0.390956657786306 × 6371000     		do = 477.607998200408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71364829-1.71384004) × cos(-1.16920054) × R
    0.000191749999999935 × 0.390887662822641 × 6371000     		du = 477.523711244742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16912558)-sin(-1.16920054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390956657786306-0.390887662822641)×R²
    abs(1.71384004-1.71364829)×6.89949636651366e-05×R²
    0.000191749999999935×6.89949636651366e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.89949636651366e-05×40589641000000     		ar = 228071.201757479m²