Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25321 / 24615
↖ ↑ ↗
← S 66.683436°
E 98.184815°		 ← 483.54 m → S 66.683436°
E 98.195801°		 →
↑
483.50 m
↓
↑
483.50 m
↓
S 66.687784°
E 98.184815°		 ← 483.45 m →
233 768 m²		 S 66.687784°
E 98.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772750854492188 y=0.751205444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772750854492188 × 215)
    floor (0.772750854492188 × 32768)
    floor (25321.5)     		tx = 25321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751205444335938 × 215)
    floor (0.751205444335938 × 32768)
    floor (24615.5)     		ty = 24615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25321 / 24615 ti = "15/25321/24615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25321/24615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25321 ÷ 215
    25321 ÷ 32768     		x = 0.772735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24615 ÷ 215
    24615 ÷ 32768     		y = 0.751190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772735595703125 × 2 - 1) × π
    0.54547119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71364829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.50238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57827448309073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71364829} λ = 1.71364829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57827448309073))-π/2
    2×atan(0.206330818532184)-π/2
    2×0.203475408352933-π/2
    0.406950816705866-1.57079632675     		φ = -1.16384551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71364829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.184815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16384551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.683436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25321 KachelY 24615 1.71364829 -1.16384551 98.184815 -66.683436
    Oben rechts KachelX + 1 25322 KachelY 24615 1.71384004 -1.16384551 98.195801 -66.683436
    Unten links KachelX 25321 KachelY + 1 24616 1.71364829 -1.16392140 98.184815 -66.687784
    Unten rechts KachelX + 1 25322 KachelY + 1 24616 1.71384004 -1.16392140 98.195801 -66.687784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16384551--1.16392140) × R
    7.58899999999674e-05 × 6371000     		dl = 483.495189999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16384551--1.16392140) × R
    7.58899999999674e-05 × 6371000     		dr = 483.495189999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71364829-1.71384004) × cos(-1.16384551) × R
    0.000191749999999935 × 0.3958110098705 × 6371000     		do = 483.538265239776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71364829-1.71384004) × cos(-1.16392140) × R
    0.000191749999999935 × 0.395741316516025 × 6371000     		du = 483.453125102486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16384551)-sin(-1.16392140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3958110098705-0.395741316516025)×R²
    abs(1.71384004-1.71364829)×6.96933544748757e-05×R²
    0.000191749999999935×6.96933544748757e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.96933544748757e-05×40589641000000     		ar = 233767.843113093m²