Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25321 / 24603
↖ ↑ ↗
← S 66.631199°
E 98.184815°		 ← 484.56 m → S 66.631199°
E 98.195801°		 →
↑
484.51 m
↓
↑
484.51 m
↓
S 66.635556°
E 98.184815°		 ← 484.48 m →
234 756 m²		 S 66.635556°
E 98.195801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772750854492188 y=0.750839233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772750854492188 × 215)
    floor (0.772750854492188 × 32768)
    floor (25321.5)     		tx = 25321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750839233398438 × 215)
    floor (0.750839233398438 × 32768)
    floor (24603.5)     		ty = 24603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25321 / 24603 ti = "15/25321/24603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25321/24603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25321 ÷ 215
    25321 ÷ 32768     		x = 0.772735595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24603 ÷ 215
    24603 ÷ 32768     		y = 0.750823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772735595703125 × 2 - 1) × π
    0.54547119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71364829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.50164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57597351190897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71364829} λ = 1.71364829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57597351190897))-π/2
    2×atan(0.206806126424709)-π/2
    2×0.203931264608509-π/2
    0.407862529217018-1.57079632675     		φ = -1.16293380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71364829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.184815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16293380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.631199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25321 KachelY 24603 1.71364829 -1.16293380 98.184815 -66.631199
    Oben rechts KachelX + 1 25322 KachelY 24603 1.71384004 -1.16293380 98.195801 -66.631199
    Unten links KachelX 25321 KachelY + 1 24604 1.71364829 -1.16300985 98.184815 -66.635556
    Unten rechts KachelX + 1 25322 KachelY + 1 24604 1.71384004 -1.16300985 98.195801 -66.635556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16293380--1.16300985) × R
    7.60499999998832e-05 × 6371000     		dl = 484.514549999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16293380--1.16300985) × R
    7.60499999998832e-05 × 6371000     		dr = 484.514549999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71364829-1.71384004) × cos(-1.16293380) × R
    0.000191749999999935 × 0.396648097711378 × 6371000     		do = 484.56088460189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71364829-1.71384004) × cos(-1.16300985) × R
    0.000191749999999935 × 0.396578284889347 × 6371000     		du = 484.475598518344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16293380)-sin(-1.16300985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396648097711378-0.396578284889347)×R²
    abs(1.71384004-1.71364829)×6.98128220305572e-05×R²
    0.000191749999999935×6.98128220305572e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.98128220305572e-05×40589641000000     		ar = 234756.137888851m²