Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25320 / 24680
↖ ↑ ↗
← S 66.964476°
E 98.173828°		 ← 478.03 m → S 66.964476°
E 98.184815°		 →
↑
478.02 m
↓
↑
478.02 m
↓
S 66.968775°
E 98.173828°		 ← 477.95 m →
228 486 m²		 S 66.968775°
E 98.184815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772720336914062 y=0.753189086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772720336914062 × 215)
    floor (0.772720336914062 × 32768)
    floor (25320.5)     		tx = 25320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753189086914062 × 215)
    floor (0.753189086914062 × 32768)
    floor (24680.5)     		ty = 24680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25320 / 24680 ti = "15/25320/24680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25320/24680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25320 ÷ 215
    25320 ÷ 32768     		x = 0.772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24680 ÷ 215
    24680 ÷ 32768     		y = 0.753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772705078125 × 2 - 1) × π
    0.54541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71345654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.50634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59073807699194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71345654} λ = 1.71345654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59073807699194))-π/2
    2×atan(0.20377515446348)-π/2
    2×0.201022866751497-π/2
    0.402045733502994-1.57079632675     		φ = -1.16875059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71345654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16875059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.964476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25320 KachelY 24680 1.71345654 -1.16875059 98.173828 -66.964476
    Oben rechts KachelX + 1 25321 KachelY 24680 1.71364829 -1.16875059 98.184815 -66.964476
    Unten links KachelX 25320 KachelY + 1 24681 1.71345654 -1.16882562 98.173828 -66.968775
    Unten rechts KachelX + 1 25321 KachelY + 1 24681 1.71364829 -1.16882562 98.184815 -66.968775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16875059--1.16882562) × R
    7.5030000000087e-05 × 6371000     		dl = 478.016130000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16875059--1.16882562) × R
    7.5030000000087e-05 × 6371000     		dr = 478.016130000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71345654-1.71364829) × cos(-1.16875059) × R
    0.000191750000000157 × 0.391301774494954 × 6371000     		do = 478.029606318076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71345654-1.71364829) × cos(-1.16882562) × R
    0.000191750000000157 × 0.391232726104245 × 6371000     		du = 477.945254093836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16875059)-sin(-1.16882562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391301774494954-0.391232726104245)×R²
    abs(1.71364829-1.71345654)×6.90483907089812e-05×R²
    0.000191750000000157×6.90483907089812e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.90483907089812e-05×40589641000000     		ar = 228485.701683456m²