Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25317 / 24549
↖ ↑ ↗
← S 66.394761°
E 98.140869°		 ← 489.16 m → S 66.394761°
E 98.151855°		 →
↑
489.10 m
↓
↑
489.10 m
↓
S 66.399160°
E 98.140869°		 ← 489.07 m →
239 227 m²		 S 66.399160°
E 98.151855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772628784179688 y=0.749191284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772628784179688 × 215)
    floor (0.772628784179688 × 32768)
    floor (25317.5)     		tx = 25317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749191284179688 × 215)
    floor (0.749191284179688 × 32768)
    floor (24549.5)     		ty = 24549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25317 / 24549 ti = "15/25317/24549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25317/24549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25317 ÷ 215
    25317 ÷ 32768     		x = 0.772613525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24549 ÷ 215
    24549 ÷ 32768     		y = 0.749176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772613525390625 × 2 - 1) × π
    0.54522705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71288130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.49835205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56561914159103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71288130} λ = 1.71288130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56561914159103))-π/2
    2×atan(0.208958598155385)-π/2
    2×0.205994569783471-π/2
    0.411989139566941-1.57079632675     		φ = -1.15880719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71288130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.140869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15880719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.394761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25317 KachelY 24549 1.71288130 -1.15880719 98.140869 -66.394761
    Oben rechts KachelX + 1 25318 KachelY 24549 1.71307304 -1.15880719 98.151855 -66.394761
    Unten links KachelX 25317 KachelY + 1 24550 1.71288130 -1.15888396 98.140869 -66.399160
    Unten rechts KachelX + 1 25318 KachelY + 1 24550 1.71307304 -1.15888396 98.151855 -66.399160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15880719--1.15888396) × R
    7.67699999999483e-05 × 6371000     		dl = 489.10166999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15880719--1.15888396) × R
    7.67699999999483e-05 × 6371000     		dr = 489.10166999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71288130-1.71307304) × cos(-1.15880719) × R
    0.000191739999999996 × 0.400432816973877 × 6371000     		do = 489.158934628575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71288130-1.71307304) × cos(-1.15888396) × R
    0.000191739999999996 × 0.400362469437675 × 6371000     		du = 489.07299979905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15880719)-sin(-1.15888396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400432816973877-0.400362469437675)×R²
    abs(1.71307304-1.71288130)×7.03475362028305e-05×R²
    0.000191739999999996×7.03475362028305e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.03475362028305e-05×40589641000000     		ar = 239227.436505539m²