Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25316 / 24543
↖ ↑ ↗
← S 66.368351°
E 98.129883°		 ← 489.70 m → S 66.368351°
E 98.140869°		 →
↑
489.68 m
↓
↑
489.68 m
↓
S 66.372755°
E 98.129883°		 ← 489.61 m →
239 773 m²		 S 66.372755°
E 98.140869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772598266601562 y=0.749008178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772598266601562 × 215)
    floor (0.772598266601562 × 32768)
    floor (25316.5)     		tx = 25316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749008178710938 × 215)
    floor (0.749008178710938 × 32768)
    floor (24543.5)     		ty = 24543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25316 / 24543 ti = "15/25316/24543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25316/24543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25316 ÷ 215
    25316 ÷ 32768     		x = 0.7725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24543 ÷ 215
    24543 ÷ 32768     		y = 0.748992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7725830078125 × 2 - 1) × π
    0.545166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71268955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.49798583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56446865600015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71268955} λ = 1.71268955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56446865600015))-π/2
    2×atan(0.209199140355289)-π/2
    2×0.206225037330203-π/2
    0.412450074660406-1.57079632675     		φ = -1.15834625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71268955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15834625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.368351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25316 KachelY 24543 1.71268955 -1.15834625 98.129883 -66.368351
    Oben rechts KachelX + 1 25317 KachelY 24543 1.71288130 -1.15834625 98.140869 -66.368351
    Unten links KachelX 25316 KachelY + 1 24544 1.71268955 -1.15842311 98.129883 -66.372755
    Unten rechts KachelX + 1 25317 KachelY + 1 24544 1.71288130 -1.15842311 98.140869 -66.372755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15834625--1.15842311) × R
    7.68600000000674e-05 × 6371000     		dl = 489.67506000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15834625--1.15842311) × R
    7.68600000000674e-05 × 6371000     		dr = 489.67506000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71268955-1.71288130) × cos(-1.15834625) × R
    0.000191750000000157 × 0.400855145781784 × 6371000     		do = 489.7003796519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71268955-1.71288130) × cos(-1.15842311) × R
    0.000191750000000157 × 0.400784729966169 × 6371000     		du = 489.614356927724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15834625)-sin(-1.15842311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400855145781784-0.400784729966169)×R²
    abs(1.71288130-1.71268955)×7.04158156147883e-05×R²
    0.000191750000000157×7.04158156147883e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.04158156147883e-05×40589641000000     		ar = 239773.001315314m²