Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25313 / 24547
↖ ↑ ↗
← S 66.385961°
E 98.096924°		 ← 489.33 m → S 66.385961°
E 98.107910°		 →
↑
489.29 m
↓
↑
489.29 m
↓
S 66.390362°
E 98.096924°		 ← 489.24 m →
239 405 m²		 S 66.390362°
E 98.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772506713867188 y=0.749130249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772506713867188 × 215)
    floor (0.772506713867188 × 32768)
    floor (25313.5)     		tx = 25313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749130249023438 × 215)
    floor (0.749130249023438 × 32768)
    floor (24547.5)     		ty = 24547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25313 / 24547 ti = "15/25313/24547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25313/24547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25313 ÷ 215
    25313 ÷ 32768     		x = 0.772491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24547 ÷ 215
    24547 ÷ 32768     		y = 0.749114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772491455078125 × 2 - 1) × π
    0.54498291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71211431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.49822998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56523564639407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71211431} λ = 1.71211431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56523564639407))-π/2
    2×atan(0.209038748141726)-π/2
    2×0.206071365307102-π/2
    0.412142730614205-1.57079632675     		φ = -1.15865360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71211431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.096924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15865360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.385961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25313 KachelY 24547 1.71211431 -1.15865360 98.096924 -66.385961
    Oben rechts KachelX + 1 25314 KachelY 24547 1.71230605 -1.15865360 98.107910 -66.385961
    Unten links KachelX 25313 KachelY + 1 24548 1.71211431 -1.15873040 98.096924 -66.390362
    Unten rechts KachelX + 1 25314 KachelY + 1 24548 1.71230605 -1.15873040 98.107910 -66.390362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15865360--1.15873040) × R
    7.6799999999988e-05 × 6371000     		dl = 489.292799999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15865360--1.15873040) × R
    7.6799999999988e-05 × 6371000     		dr = 489.292799999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71211431-1.71230605) × cos(-1.15865360) × R
    0.000191739999999996 × 0.400573550779087 × 6371000     		do = 489.33085160267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71211431-1.71230605) × cos(-1.15873040) × R
    0.000191739999999996 × 0.400503180475984 × 6371000     		du = 489.244888961657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15865360)-sin(-1.15873040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400573550779087-0.400503180475984)×R²
    abs(1.71230605-1.71211431)×7.03703031036396e-05×R²
    0.000191739999999996×7.03703031036396e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.03703031036396e-05×40589641000000     		ar = 239405.032174564m²