Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25312 / 36576
↖ ↑ ↗
← N 61.980268°
W110.478516°		 ← 143.48 m → N 61.980268°
W110.475769°		 →
↑
143.47 m
↓
↑
143.47 m
↓
N 61.978977°
W110.478516°		 ← 143.49 m →
20 586 m²		 N 61.978977°
W110.475769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.193119049072266 y=0.279056549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.193119049072266 × 217)
    floor (0.193119049072266 × 131072)
    floor (25312.5)     		tx = 25312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279056549072266 × 217)
    floor (0.279056549072266 × 131072)
    floor (36576.5)     		ty = 36576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25312 / 36576 ti = "17/25312/36576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25312/36576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25312 ÷ 217
    25312 ÷ 131072     		x = 0.193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36576 ÷ 217
    36576 ÷ 131072     		y = 0.279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.61376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.92821385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.279052734375 × 2 - 1) × π
    0.44189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.38825261299683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.92821385} λ = -1.92821385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38825261299683))-π/2
    2×atan(4.00784068201729)-π/2
    2×1.32627803090867-π/2
    2.65255606181734-1.57079632675     		φ = 1.08175974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.92821385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.478516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08175974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.980268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25312 KachelY 36576 -1.92821385 1.08175974 -110.478516 61.980268
    Oben rechts KachelX + 1 25313 KachelY 36576 -1.92816591 1.08175974 -110.475769 61.980268
    Unten links KachelX 25312 KachelY + 1 36577 -1.92821385 1.08173722 -110.478516 61.978977
    Unten rechts KachelX + 1 25313 KachelY + 1 36577 -1.92816591 1.08173722 -110.475769 61.978977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08175974-1.08173722) × R
    2.25200000001369e-05 × 6371000     		dl = 143.474920000872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08175974-1.08173722) × R
    2.25200000001369e-05 × 6371000     		dr = 143.474920000872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.92821385--1.92816591) × cos(1.08175974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.469775618766152 × 6371000     		do = 143.481565995516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.92821385--1.92816591) × cos(1.08173722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46979549898451 × 6371000     		du = 143.487637925919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08175974)-sin(1.08173722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469775618766152-0.46979549898451)×R²
    abs(-1.92816591--1.92821385)×1.9880218358026e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9880218358026e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9880218358026e-05×40589641000000     		ar = 20586.4417886281m²