Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25312 / 24479
↖ ↑ ↗
← S 66.084911°
E 98.085938°		 ← 495.23 m → S 66.084911°
E 98.096924°		 →
↑
495.22 m
↓
↑
495.22 m
↓
S 66.089364°
E 98.085938°		 ← 495.14 m →
245 226 m²		 S 66.089364°
E 98.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772476196289062 y=0.747055053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772476196289062 × 215)
    floor (0.772476196289062 × 32768)
    floor (25312.5)     		tx = 25312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747055053710938 × 215)
    floor (0.747055053710938 × 32768)
    floor (24479.5)     		ty = 24479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25312 / 24479 ti = "15/25312/24479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25312/24479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25312 ÷ 215
    25312 ÷ 32768     		x = 0.7724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24479 ÷ 215
    24479 ÷ 32768     		y = 0.747039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747039794921875 × 2 - 1) × π
    -0.49407958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55219680969742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71192256} λ = 1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55219680969742))-π/2
    2×atan(0.211782217196235)-π/2
    2×0.208698522010978-π/2
    0.417397044021956-1.57079632675     		φ = -1.15339928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15339928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.084911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25312 KachelY 24479 1.71192256 -1.15339928 98.085938 -66.084911
    Oben rechts KachelX + 1 25313 KachelY 24479 1.71211431 -1.15339928 98.096924 -66.084911
    Unten links KachelX 25312 KachelY + 1 24480 1.71192256 -1.15347701 98.085938 -66.089364
    Unten rechts KachelX + 1 25313 KachelY + 1 24480 1.71211431 -1.15347701 98.096924 -66.089364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15339928--1.15347701) × R
    7.77300000001091e-05 × 6371000     		dl = 495.217830000695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15339928--1.15347701) × R
    7.77300000001091e-05 × 6371000     		dr = 495.217830000695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71192256-1.71211431) × cos(-1.15339928) × R
    0.000191749999999935 × 0.405382346597455 × 6371000     		do = 495.230985860388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71192256-1.71211431) × cos(-1.15347701) × R
    0.000191749999999935 × 0.405311288708903 × 6371000     		du = 495.14417875471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15339928)-sin(-1.15347701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405382346597455-0.405311288708903)×R²
    abs(1.71211431-1.71192256)×7.10578885522728e-05×R²
    0.000191749999999935×7.10578885522728e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.10578885522728e-05×40589641000000     		ar = 245225.720076954m²