Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25312 / 24416
↖ ↑ ↗
← S 65.802776°
E 98.085938°		 ← 500.72 m → S 65.802776°
E 98.096924°		 →
↑
500.70 m
↓
↑
500.70 m
↓
S 65.807279°
E 98.085938°		 ← 500.64 m →
250 689 m²		 S 65.807279°
E 98.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772476196289062 y=0.745132446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772476196289062 × 215)
    floor (0.772476196289062 × 32768)
    floor (25312.5)     		tx = 25312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745132446289062 × 215)
    floor (0.745132446289062 × 32768)
    floor (24416.5)     		ty = 24416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25312 / 24416 ti = "15/25312/24416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25312/24416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25312 ÷ 215
    25312 ÷ 32768     		x = 0.7724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24416 ÷ 215
    24416 ÷ 32768     		y = 0.7451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7451171875 × 2 - 1) × π
    -0.490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54011671099316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71192256} λ = 1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54011671099316))-π/2
    2×atan(0.214356082255749)-π/2
    2×0.211160610897234-π/2
    0.422321221794468-1.57079632675     		φ = -1.14847510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14847510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.802776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25312 KachelY 24416 1.71192256 -1.14847510 98.085938 -65.802776
    Oben rechts KachelX + 1 25313 KachelY 24416 1.71211431 -1.14847510 98.096924 -65.802776
    Unten links KachelX 25312 KachelY + 1 24417 1.71192256 -1.14855369 98.085938 -65.807279
    Unten rechts KachelX + 1 25313 KachelY + 1 24417 1.71211431 -1.14855369 98.096924 -65.807279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14847510--1.14855369) × R
    7.85899999999895e-05 × 6371000     		dl = 500.696889999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14847510--1.14855369) × R
    7.85899999999895e-05 × 6371000     		dr = 500.696889999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71192256-1.71211431) × cos(-1.14847510) × R
    0.000191749999999935 × 0.409878839145317 × 6371000     		do = 500.724077644186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71192256-1.71211431) × cos(-1.14855369) × R
    0.000191749999999935 × 0.409807152798831 × 6371000     		du = 500.63650278963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14847510)-sin(-1.14855369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409878839145317-0.409807152798831)×R²
    abs(1.71211431-1.71192256)×7.16863464859108e-05×R²
    0.000191749999999935×7.16863464859108e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.16863464859108e-05×40589641000000     		ar = 250689.064324543m²