Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25312 / 24271
↖ ↑ ↗
← S 65.141497°
E 98.085938°		 ← 513.55 m → S 65.141497°
E 98.096924°		 →
↑
513.50 m
↓
↑
513.50 m
↓
S 65.146115°
E 98.085938°		 ← 513.46 m →
263 687 m²		 S 65.146115°
E 98.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772476196289062 y=0.740707397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772476196289062 × 215)
    floor (0.772476196289062 × 32768)
    floor (25312.5)     		tx = 25312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740707397460938 × 215)
    floor (0.740707397460938 × 32768)
    floor (24271.5)     		ty = 24271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25312 / 24271 ti = "15/25312/24271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25312/24271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25312 ÷ 215
    25312 ÷ 32768     		x = 0.7724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24271 ÷ 215
    24271 ÷ 32768     		y = 0.740692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.48138427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51231330921353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71192256} λ = 1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51231330921353))-π/2
    2×atan(0.220399535505252)-π/2
    2×0.216931363724357-π/2
    0.433862727448713-1.57079632675     		φ = -1.13693360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13693360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.141497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25312 KachelY 24271 1.71192256 -1.13693360 98.085938 -65.141497
    Oben rechts KachelX + 1 25313 KachelY 24271 1.71211431 -1.13693360 98.096924 -65.141497
    Unten links KachelX 25312 KachelY + 1 24272 1.71192256 -1.13701420 98.085938 -65.146115
    Unten rechts KachelX + 1 25313 KachelY + 1 24272 1.71211431 -1.13701420 98.096924 -65.146115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13693360--1.13701420) × R
    8.05999999999862e-05 × 6371000     		dl = 513.502599999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13693360--1.13701420) × R
    8.05999999999862e-05 × 6371000     		dr = 513.502599999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71192256-1.71211431) × cos(-1.13693360) × R
    0.000191749999999935 × 0.420378770065312 × 6371000     		do = 513.551205378337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71192256-1.71211431) × cos(-1.13701420) × R
    0.000191749999999935 × 0.420305636393538 × 6371000     		du = 513.461862414401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13693360)-sin(-1.13701420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420378770065312-0.420305636393538)×R²
    abs(1.71211431-1.71192256)×7.31336717742503e-05×R²
    0.000191749999999935×7.31336717742503e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.31336717742503e-05×40589641000000     		ar = 263686.940415401m²