Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25311 / 24546
↖ ↑ ↗
← S 66.381560°
E 98.074951°		 ← 489.44 m → S 66.381560°
E 98.085938°		 →
↑
489.42 m
↓
↑
489.42 m
↓
S 66.385961°
E 98.074951°		 ← 489.36 m →
239 522 m²		 S 66.385961°
E 98.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772445678710938 y=0.749099731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772445678710938 × 215)
    floor (0.772445678710938 × 32768)
    floor (25311.5)     		tx = 25311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749099731445312 × 215)
    floor (0.749099731445312 × 32768)
    floor (24546.5)     		ty = 24546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25311 / 24546 ti = "15/25311/24546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25311/24546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25311 ÷ 215
    25311 ÷ 32768     		x = 0.772430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24546 ÷ 215
    24546 ÷ 32768     		y = 0.74908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772430419921875 × 2 - 1) × π
    0.54486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71173081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.4981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56504389879559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71173081} λ = 1.71173081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56504389879559))-π/2
    2×atan(0.209078834662796)-π/2
    2×0.20610977318946-π/2
    0.412219546378919-1.57079632675     		φ = -1.15857678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71173081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15857678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.381560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25311 KachelY 24546 1.71173081 -1.15857678 98.074951 -66.381560
    Oben rechts KachelX + 1 25312 KachelY 24546 1.71192256 -1.15857678 98.085938 -66.381560
    Unten links KachelX 25311 KachelY + 1 24547 1.71173081 -1.15865360 98.074951 -66.385961
    Unten rechts KachelX + 1 25312 KachelY + 1 24547 1.71192256 -1.15865360 98.085938 -66.385961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15857678--1.15865360) × R
    7.68200000000885e-05 × 6371000     		dl = 489.420220000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15857678--1.15865360) × R
    7.68200000000885e-05 × 6371000     		dr = 489.420220000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71173081-1.71192256) × cos(-1.15857678) × R
    0.000191750000000157 × 0.400643937044189 × 6371000     		do = 489.442358768111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71173081-1.71192256) × cos(-1.15865360) × R
    0.000191750000000157 × 0.400573550779087 × 6371000     		du = 489.356372144002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15857678)-sin(-1.15865360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400643937044189-0.400573550779087)×R²
    abs(1.71192256-1.71173081)×7.03862651014742e-05×R²
    0.000191750000000157×7.03862651014742e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.03862651014742e-05×40589641000000     		ar = 239521.945227614m²