Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25311 / 24272
↖ ↑ ↗
← S 65.146115°
E 98.074951°		 ← 513.46 m → S 65.146115°
E 98.085938°		 →
↑
513.38 m
↓
↑
513.38 m
↓
S 65.150732°
E 98.074951°		 ← 513.37 m →
263 576 m²		 S 65.150732°
E 98.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772445678710938 y=0.740737915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772445678710938 × 215)
    floor (0.772445678710938 × 32768)
    floor (25311.5)     		tx = 25311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740737915039062 × 215)
    floor (0.740737915039062 × 32768)
    floor (24272.5)     		ty = 24272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25311 / 24272 ti = "15/25311/24272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25311/24272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25311 ÷ 215
    25311 ÷ 32768     		x = 0.772430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24272 ÷ 215
    24272 ÷ 32768     		y = 0.74072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772430419921875 × 2 - 1) × π
    0.54486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71173081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74072265625 × 2 - 1) × π
    -0.4814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51250505681201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71173081} λ = 1.71173081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51250505681201))-π/2
    2×atan(0.220357278475084)-π/2
    2×0.216891063920358-π/2
    0.433782127840716-1.57079632675     		φ = -1.13701420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71173081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.074951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13701420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.146115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25311 KachelY 24272 1.71173081 -1.13701420 98.074951 -65.146115
    Oben rechts KachelX + 1 25312 KachelY 24272 1.71192256 -1.13701420 98.085938 -65.146115
    Unten links KachelX 25311 KachelY + 1 24273 1.71173081 -1.13709478 98.074951 -65.150732
    Unten rechts KachelX + 1 25312 KachelY + 1 24273 1.71192256 -1.13709478 98.085938 -65.150732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13701420--1.13709478) × R
    8.05799999998857e-05 × 6371000     		dl = 513.375179999272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13701420--1.13709478) × R
    8.05799999998857e-05 × 6371000     		dr = 513.375179999272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71173081-1.71192256) × cos(-1.13701420) × R
    0.000191750000000157 × 0.420305636393538 × 6371000     		do = 513.461862414995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71173081-1.71192256) × cos(-1.13709478) × R
    0.000191750000000157 × 0.420232518139637 × 6371000     		du = 513.372538286138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13701420)-sin(-1.13709478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420305636393538-0.420232518139637)×R²
    abs(1.71192256-1.71173081)×7.31182539016051e-05×R²
    0.000191750000000157×7.31182539016051e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.31182539016051e-05×40589641000000     		ar = 263575.647786745m²