Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25309 / 24809
↖ ↑ ↗
← S 67.512771°
E 98.052979°		 ← 467.23 m → S 67.512771°
E 98.063965°		 →
↑
467.19 m
↓
↑
467.19 m
↓
S 67.516972°
E 98.052979°		 ← 467.14 m →
218 261 m²		 S 67.516972°
E 98.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772384643554688 y=0.757125854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772384643554688 × 215)
    floor (0.772384643554688 × 32768)
    floor (25309.5)     		tx = 25309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757125854492188 × 215)
    floor (0.757125854492188 × 32768)
    floor (24809.5)     		ty = 24809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25309 / 24809 ti = "15/25309/24809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25309/24809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25309 ÷ 215
    25309 ÷ 32768     		x = 0.772369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24809 ÷ 215
    24809 ÷ 32768     		y = 0.757110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772369384765625 × 2 - 1) × π
    0.54473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71134732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757110595703125 × 2 - 1) × π
    -0.51422119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61547351719589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71134732} λ = 1.71134732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61547351719589))-π/2
    2×atan(0.198796514582232)-π/2
    2×0.196238094966474-π/2
    0.392476189932947-1.57079632675     		φ = -1.17832014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71134732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.052979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17832014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.512771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25309 KachelY 24809 1.71134732 -1.17832014 98.052979 -67.512771
    Oben rechts KachelX + 1 25310 KachelY 24809 1.71153906 -1.17832014 98.063965 -67.512771
    Unten links KachelX 25309 KachelY + 1 24810 1.71134732 -1.17839347 98.052979 -67.516972
    Unten rechts KachelX + 1 25310 KachelY + 1 24810 1.71153906 -1.17839347 98.063965 -67.516972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17832014--1.17839347) × R
    7.33299999999826e-05 × 6371000     		dl = 467.185429999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17832014--1.17839347) × R
    7.33299999999826e-05 × 6371000     		dr = 467.185429999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71134732-1.71153906) × cos(-1.17832014) × R
    0.000191739999999996 × 0.382477494820982 × 6371000     		do = 467.225152273778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71134732-1.71153906) × cos(-1.17839347) × R
    0.000191739999999996 × 0.382409739453345 × 6371000     		du = 467.142383973968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17832014)-sin(-1.17839347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382477494820982-0.382409739453345)×R²
    abs(1.71153906-1.71134732)×6.77553676373677e-05×R²
    0.000191739999999996×6.77553676373677e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.77553676373677e-05×40589641000000     		ar = 218261.449697841m²