Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25307 / 24815
↖ ↑ ↗
← S 67.537970°
E 98.031006°		 ← 466.75 m → S 67.537970°
E 98.041992°		 →
↑
466.68 m
↓
↑
466.68 m
↓
S 67.542167°
E 98.031006°		 ← 466.67 m →
217 803 m²		 S 67.542167°
E 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772323608398438 y=0.757308959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772323608398438 × 215)
    floor (0.772323608398438 × 32768)
    floor (25307.5)     		tx = 25307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757308959960938 × 215)
    floor (0.757308959960938 × 32768)
    floor (24815.5)     		ty = 24815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25307 / 24815 ti = "15/25307/24815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25307/24815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25307 ÷ 215
    25307 ÷ 32768     		x = 0.772308349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24815 ÷ 215
    24815 ÷ 32768     		y = 0.757293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772308349609375 × 2 - 1) × π
    0.54461669921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71096382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.51458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61662400278677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71096382} λ = 1.71096382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61662400278677))-π/2
    2×atan(0.19856793357148)-π/2
    2×0.196018194447321-π/2
    0.392036388894641-1.57079632675     		φ = -1.17875994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71096382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17875994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.537970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25307 KachelY 24815 1.71096382 -1.17875994 98.031006 -67.537970
    Oben rechts KachelX + 1 25308 KachelY 24815 1.71115557 -1.17875994 98.041992 -67.537970
    Unten links KachelX 25307 KachelY + 1 24816 1.71096382 -1.17883319 98.031006 -67.542167
    Unten rechts KachelX + 1 25308 KachelY + 1 24816 1.71115557 -1.17883319 98.041992 -67.542167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17875994--1.17883319) × R
    7.32500000000247e-05 × 6371000     		dl = 466.675750000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17875994--1.17883319) × R
    7.32500000000247e-05 × 6371000     		dr = 466.675750000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71096382-1.71115557) × cos(-1.17875994) × R
    0.000191750000000157 × 0.382071098121464 × 6371000     		do = 466.753049756164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71096382-1.71115557) × cos(-1.17883319) × R
    0.000191750000000157 × 0.382003404359244 × 6371000     		du = 466.670352399255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17875994)-sin(-1.17883319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382071098121464-0.382003404359244)×R²
    abs(1.71115557-1.71096382)×6.76937622205998e-05×R²
    0.000191750000000157×6.76937622205998e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.76937622205998e-05×40589641000000     		ar = 217803.033231851m²