Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25305 / 24539
↖ ↑ ↗
← S 66.350729°
E 98.009033°		 ← 490.02 m → S 66.350729°
E 98.020019°		 →
↑
489.99 m
↓
↑
489.99 m
↓
S 66.355136°
E 98.009033°		 ← 489.93 m →
240 085 m²		 S 66.355136°
E 98.020019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772262573242188 y=0.748886108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772262573242188 × 215)
    floor (0.772262573242188 × 32768)
    floor (25305.5)     		tx = 25305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748886108398438 × 215)
    floor (0.748886108398438 × 32768)
    floor (24539.5)     		ty = 24539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25305 / 24539 ti = "15/25305/24539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25305/24539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25305 ÷ 215
    25305 ÷ 32768     		x = 0.772247314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24539 ÷ 215
    24539 ÷ 32768     		y = 0.748870849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772247314453125 × 2 - 1) × π
    0.54449462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71058033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.49774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56370166560623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71058033} λ = 1.71058033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56370166560623))-π/2
    2×atan(0.209359655635328)-π/2
    2×0.206378817372228-π/2
    0.412757634744456-1.57079632675     		φ = -1.15803869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71058033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.009033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15803869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.350729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25305 KachelY 24539 1.71058033 -1.15803869 98.009033 -66.350729
    Oben rechts KachelX + 1 25306 KachelY 24539 1.71077207 -1.15803869 98.020019 -66.350729
    Unten links KachelX 25305 KachelY + 1 24540 1.71058033 -1.15811560 98.009033 -66.355136
    Unten rechts KachelX + 1 25306 KachelY + 1 24540 1.71077207 -1.15811560 98.020019 -66.355136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15803869--1.15811560) × R
    7.69099999999856e-05 × 6371000     		dl = 489.993609999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15803869--1.15811560) × R
    7.69099999999856e-05 × 6371000     		dr = 489.993609999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71058033-1.71077207) × cos(-1.15803869) × R
    0.000191739999999996 × 0.401136895281904 × 6371000     		do = 490.019019467905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71058033-1.71077207) × cos(-1.15811560) × R
    0.000191739999999996 × 0.401066443142179 × 6371000     		du = 489.932956857276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15803869)-sin(-1.15811560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401136895281904-0.401066443142179)×R²
    abs(1.71077207-1.71058033)×7.04521397250635e-05×R²
    0.000191739999999996×7.04521397250635e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.04521397250635e-05×40589641000000     		ar = 240085.103371377m²