Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25305 / 24266
↖ ↑ ↗
← S 65.118395°
E 98.009033°		 ← 513.97 m → S 65.118395°
E 98.020019°		 →
↑
513.95 m
↓
↑
513.95 m
↓
S 65.123017°
E 98.009033°		 ← 513.88 m →
264 132 m²		 S 65.123017°
E 98.020019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772262573242188 y=0.740554809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772262573242188 × 215)
    floor (0.772262573242188 × 32768)
    floor (25305.5)     		tx = 25305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740554809570312 × 215)
    floor (0.740554809570312 × 32768)
    floor (24266.5)     		ty = 24266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25305 / 24266 ti = "15/25305/24266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25305/24266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25305 ÷ 215
    25305 ÷ 32768     		x = 0.772247314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24266 ÷ 215
    24266 ÷ 32768     		y = 0.74053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772247314453125 × 2 - 1) × π
    0.54449462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71058033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.4810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51135457122113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71058033} λ = 1.71058033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51135457122113))-π/2
    2×atan(0.220610942239088)-π/2
    2×0.21713296794423-π/2
    0.43426593588846-1.57079632675     		φ = -1.13653039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71058033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.009033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13653039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.118395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25305 KachelY 24266 1.71058033 -1.13653039 98.009033 -65.118395
    Oben rechts KachelX + 1 25306 KachelY 24266 1.71077207 -1.13653039 98.020019 -65.118395
    Unten links KachelX 25305 KachelY + 1 24267 1.71058033 -1.13661106 98.009033 -65.123017
    Unten rechts KachelX + 1 25306 KachelY + 1 24267 1.71077207 -1.13661106 98.020019 -65.123017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13653039--1.13661106) × R
    8.06700000000049e-05 × 6371000     		dl = 513.948570000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13653039--1.13661106) × R
    8.06700000000049e-05 × 6371000     		dr = 513.948570000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71058033-1.71077207) × cos(-1.13653039) × R
    0.000191739999999996 × 0.420744587958334 × 6371000     		do = 513.971297237268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71058033-1.71077207) × cos(-1.13661106) × R
    0.000191739999999996 × 0.420671404448176 × 6371000     		du = 513.881898051327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13653039)-sin(-1.13661106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420744587958334-0.420671404448176)×R²
    abs(1.71077207-1.71058033)×7.31835101580591e-05×R²
    0.000191739999999996×7.31835101580591e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.31835101580591e-05×40589641000000     		ar = 264131.840087984m²